积分几何不等式与常宽凸体

Integral geometry is a very important branch of the global differential geometry, which investigates the global properties of manifolds and convex bodies. It originated from geometric probability and based on Stochastic geometry、theory of convex body and Lie group. Integral geometry has a wide range of applications in physics、mining science、 medical science、information science and machine design. Integral geometry is a branch of the traditional mathematics in China. Shiing-Shen Chern、Buqing Su、Zhida Yan、Daren Wu and Delin Ren have made important contributions on it. Up to now, Chern’s kinematic fundamental formula is the most beautiful integral formula in integral geometry. . The kinematic formula、geometric inequality and convex body of constant width are important research fields in integral geometry. In this research, firstly, we study the Chern’s kinematic fundamental formula and its dual kinematic fundamental formula in Lp, which is an significant research field in integral geometry. Then by estimating the containment measure, a new effective method for geometric inqualities, we investigate the Bonnesen-style inequality and reverse Bonnesen-style inequality in a surface of constant curvature and in the Euclidean space of higher dimensions; Finally, the Bonnesen-Fenchel conjecture is still open in the filed of convex body of constant width. We plan to construct a class of convex bodies of constant width in three dimensions, and try to explore the solution to this problem with analysis method.

积分几何起源于几何概率，建立在随机几何、凸体论、李群的基础上，研究流形与凸体的整体性质，是整体微分几何的重要组成部分。其深入应用到物理、采矿学（探针收索）、医学、信息论、机械设计等领域。积分几何是中国传统的数学分支之一，陈省身、苏步青、严志达、吴大任与任德麟等为其发展作出很多贡献。陈省身基本运动公式现仍为积分几何中最优美的积分公式。. 运动公式、几何不等式与常宽凸体等是积分几何研究的重要内容。本课题首先研究Lp空间中的陈省身基本运动公式及其对偶运动公式，这是积分几何发展方向之一；其次利用一种获得几何不等式的行之有效的新方法，即估计一域包含另一域的包含测度，研究常曲率平面与高维欧氏空间中的Bonnesen型不等式与逆Bonnesen型不等式；针对常宽凸体理论中仍未解决的“Bonnesen-Fenchel猜想”，我们将首先构造一类空间中的常宽凸体，再结合分析的方法推动该问题的解决。

积分几何与凸几何分析是中国传统的数学分支之一。德国数学家 Blaschke 及其学派于 1935 年至 1939 年间在德国汉堡大学成立了积分几何与几何概率讨论班，他们利用概率的思想建立了关于凸体论与整体几何方面的诸多重要结论，这些成果均以“Integral Geometry (积分几何)”为总标题发表。此后，积分几何作为一门独立的数学分支为世人所公认。在此期间，作为讨论班的重要成员，中国数学家陈省身先生与吴大任先生对积分几何的发展与完善做出了突出的贡献。到目前为止，陈省身基本运动公式现仍为积分几何中最基础最重要的积分公式。1940年前后，陈省身与Weil 将局部紧群上不变测度引入积分几何便形成了研究范围更加广泛内容更加丰富的齐性空间积分几何。吴大任在弦幂积分方面做出了突出的贡献。随后，任德麟教授在包含问题及其应用方面得到了很多重要的成果，其培养的周家足教授与张高勇教授都在积分几何与凸几何分析方面做出很多贡献。..本项目主要研究积分几何与凸几何分析中的运动公式，几何不等式与常宽凸体。在运动公式方面，我们定义了两类更加广泛的积分几何不变量，得到了该类不变量是valuations 的充分必要条件，并且得到了两类广泛的积分几何不等式，其等号成立时是一类新的不变运动公式（分别是经典的Crofton 公式与基本运动公式的复合），且这时的不变量为以valuations, 对其刻画是一类著名的Hadwiger刻画定理，此外，我们定义全平均曲率矩阵决定的唯一的椭球称为全平均曲率椭球，此为经典全平均曲率概念的一种非常有意义的推广，并得到了一个关于全平均曲率的运动公式。在几何不等式方面，我们利用积分几何中常曲率平面中Poincare 基本运动公式与Blaschke 基本运动公式估计一域包含另一域的包含测度，得到了一些新的常曲率平面中的Bonnesen型不等式及其反向不等式，其中一些不等式加强了著名的Klain不等式与Bottema不等式。另外，还得到了关于Lp混合极小表面积的Alexandrov-Fenchel不等式，Blaschke-Santalo不等式与仿射等周不等式与二维情形时的Orlicz差分体不等式等。在常宽凸体方面，我们由平面上偶数多边形构造平面上新的常宽凸体及空间中非对称的常宽凸体，并以此进一步研究空间中的“Bonnesen-Fenchel猜想”。