几何分析与数学物理中的一些问题研究

This project is going to consider the convergence of surface sequences in manifolds and the construction of explicit solutions of the Einstein equation. These problems are interdisciplinary since they are closely related to fourth order elliptic quations, harmonic analysis, geometric measure theory, minimal surfaces, conformal mappings etc. Research on issues related either can explore the appropriate problem-solving skills, but also promote the development of the mathematical theory.

本项目主要考虑流形中曲面序列的收敛和Einstein方程显式解的构造，这是几何分析与数学物理中重要的研究课题之一。问题涉及到4阶椭圆方程、调和分析、几何测度论、极小曲面、共形映射等多个领域，属于交叉课题，以这些问题为核心的研究可以探索相应的解决问题的方法技巧，又可以推动数学理论的发展。

在本项目执行过程中，我们给出了等周常数收敛到0时，Willmore能量极小值对应的曲面非常精细的收敛描述，构造了非对称的调和映照和平均曲率流短时间爆破的例子。证明了如果4维辛流形的相交形式的自同构群是无限群，则其几何自同构群几乎总是指数为无穷的子群。研究了$b_2^+=1$的4维紧致光滑流形中的嵌入曲面的最小亏格问题，利用Seiberg-Witten不变量的穿墙公式给出了一个仅依赖于4维流形的上同调环结构的最小亏格估计。