具有非局部初始条件的抽象发展方程解的存在性及渐近性态

The main objective of this project is to systematically study the existence and asymptotic behavior of solutions for some kinds of abstract evolution equations with nonlocal initial conditions by applying the thought and method of nonlinear analysis combined with the theory of operator semigroups and differential equations in abstract spaces, thereby improve and develop the study of abstract evolution equations with nonlocal initial conditions. Firstly, starting from solving the existence of mild solutions for a class of evolution equations with integral initial conditions, which is an open problem, and then transition to study the existence of mild solutions for the evolution equation with more general nonlocal initial conditions after get sufficient experience and perceptual cognition. Secondly, we investigate the asymptotic behavior of the solutions for nonlocal problems of abstract evolution equations by utilizing the related properties of operator semigroups and some integral inequalities. Lastly, we will be dedicated to study the effects of impulses (including instantaneous impulses and not instantaneous impulses) to nonlocal problems of abstract evolution equations. In addition, this project will focus particularly on the abstract results are applied to the concrete evolution partial differential equations.

本项目的主要目的是运用非线性分析的思想方法结合算子半群理论和抽象空间微分方程理论系统研究几类具有非局部初始条件的抽象发展方程解的存在性及渐近性态，从而完善和发展抽象发展方程非局部问题的研究。首先，从解决具有积分初始条件的抽象发展方程 mild 解的存在性这一公开问题入手，在获得充分的经验和感性认知后再过渡到对具有一般非局部初始条件的发展方程 mild 解的存在性的研究。其次，利用算子半群的相关性质结合某些积分不等式来研究抽象发展方程非局部问题解的渐近性态。最后，我们将致力于研究脉冲 (包括瞬时脉冲和非瞬时脉冲) 对抽象发展方程非局部问题所带来的影响。此外，本项目将特别注重所得抽象结果对具体的发展型偏微分方程的应用。

本项目按照预定的研究目标与研究计划，应用算子半群理论、抽象空间微分方程理论、分数阶微分方程理论、随机分析理论及非线性分析的理论工具与方法深入研究了几类具有非局部初始条件的抽象发展方程mild解的存在性、唯一性、渐近稳定性及与其相关的问题，获得了一系列具有重要意义的理论成果。我们的主要工作如下：⑴ 应用算子半群理论及相关的不动点定理，在涉及线性算子第一特征值的条件下对具有非局部初始条件的抽象发展方程建立了mild解与强解存在及唯一的若干准则，并在此基础上利用Gronwall-Bellman型积分不等式获得了非局部问题mild解及强解的全局渐近稳定性结果；⑵ 将整数阶发展方程非局部问题的相关结论推广到相应的分数阶发展方程非局部问题上，获得了几类具有非局部初始条件的分数阶发展方程mild解的存在性及唯一性结果，并把抽象结果应用于具体的分数阶偏微分方程非局部问题，获得了解的存在性与唯一性结果；⑶ 研究了几类具有非局部初始条件的随机发展方程，分别在解算子紧和非紧两种情形下，应用随机分析理论、算子半群理论、Schauder不动点定理及凝聚映射不动点定理，获得了mild解的存在性与唯一性结果，在此基础上结合相关的积分不等式获得了mild解的全局渐近稳定性；⑷ 研究了脉冲效应对问题所带来的影响，利用算子半群理论、正算子扰动方法、单调迭代方法、拓扑度理论、非紧性测度估计技巧等获得了含有脉冲的发展方程mild解的存在性、唯一性及脉冲对问题所带来的影响；⑸ 研究了相应的整数阶及分数阶微分方程初边值问题，应用抽象空间微分方程理论、算子半群理论、分数阶微分方程理论、非线性分析的理论工具及新的非紧性测度估计技巧，获得了解的存在性与唯一性结果，为进一步研究解的性质奠定了必要的基础；⑹ 研究了几类发展型偏微分方程初边值问题，应用各种非线性分析的理论工具获得了解的适定性、爆破、最优控制的存在性及解对初值及阶数的连续依赖性，为抽象结果对具体的发展型偏微分方程的应用积累了经验。