余分裂李代数等若干问题的研究

本课题主要研究两个方面内容：（1）余分裂李代数。余分裂李代数主要用来研究和刻画复数域上的半单性质，典型李代数和Cartan李代数的区别，以及其他相关的李代数结构方面的内容。（2）"高落差"整数分划的估计。这里我们用"高落差"来刻画这样一类整数分划（递降的）：任何相邻的分划部分之间的差不小于某个固定的正整数。例如，当落差等于2时，该类分划对应于著名的Ramanujan恒等式。本课题主要研究落差不小于4的此类分划的数量的估计，使用的工具为顶点算子代数。（3）边界相交矩阵代数。广义相交矩阵是广义Cartan矩阵的推广形式，扩张仿射李代数是仿射李代数的推广，这里主要研究利用广义相交矩阵来刻画扩张仿射李代数以及相交矩阵李代数的实现和表示等问题。

(1) 首先，本项目研究了余分裂李代数的结构和性质。 证明了复数域上有限维半单李代数都是余分裂的，给出了其Killing型、伴随表示与余分裂结构之间的关系（《Algebra and Representation Theory》）。证明了特征0的域上满足[L,L]=L的有限维李代数都是弱余分裂的，并给出了正特征域上一类Witt型李代数的余分裂结构。同时，这一结果给出了非半单的余分裂李代数（《Chinese Annals of Mathematics, Series B》）。 (2) 顶点算子表示方面，利用顶点算子的表示，给出了一类整数分划的个数的估计，这一结果部分推广了数论中Alder-Andrews猜想（发表在《Journal of Number Theory》）。研究了F_4型顶点表示的不可约分解（发表在《东北师大学报》）。 进一步的研究拓展了研究的范围，得到了有关Euler常数的一个带参数的积分推广（发表在《Journal of Number Theory》），研究了循环群上极小零和序列的指数问题，得到了一系列结果（分别发表在《Journal of Number Theory》1篇和《International Journal of Number Theory》2篇（其中1发表，1接受且网上发表））。（3）在非线性偏微分方程方面也做出了一些研究， 结果发表在《Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications》和《Journal of Mathematical Physics》。