相交矩阵李代数等若干问题的研究

Structure and representation theory of infinite dimensional Lie algebras is important in both mathematics and physics. Based on it, this project mainly study some generalized intersection matrix algebras and their q-deformations, partition identities in vertex representations for affine Lie algebras, super conformal algebras and some problems related to the center of adjoint quantum groups. This project includes: (1)classification of finite dimensional simple modules and construction of infinite dimensional simple modules for generalized intersection matrix algebras, representation and structure problem for quantized generalized intersection matrix algebras; (2)partition theory in the vertex operator representation of affine Lie algebra; (3)the structure of adjoint quantum groups and relative problems; (4)classification problem of Harish-Chandra modules and construction problem of Whittaker modules for super conformal algebras.

无限维李代数的结构与表示理论是数学与物理学研究的重要领域之一。本课题主要研究基于无限维李代数基础之上的几类广义相交矩阵代数及其q-形变的结构和表示问题、仿射李代数齐次顶点表示中的整数分拆恒等式、某些超共形代数的表示以及和伴随型量子群的中心相关的若干问题。具体包括:(1)广义相交矩阵代数的有限单模的分类问题和无限维单模的构造，量子广义相交矩阵代数的表示和结构问题；(2)仿射李代数的顶点算子表示中的整数分拆问题；(3)伴随型量子群的中心结构以及相关问题；(4)超共形代数的Harish-Chandra模的分类问题和Whittaker模的构造。

本课题研究了量子GIM代数和量子群的表示问题，可定向GIM李代数的有限维表示理论以及N=1、N =2 超共形代数的不可约表示，得到了以下主要成果：（1）完成了A_2型量子群的Whittaker模的单模分类；（2）定义、构造并分类了A型和B_2型量子群的非奇异的不可约twisted Whittaker模；（3）证明了量子toroidal代数是2仿射型量子GIM代数的同构像，并推广定义了一般的量子n-toroidal代数；（4）完整分类了Q_{n+1}(2,1)型GIM李代数的不可约有限维表示；（5）对N=1、N=2超共形代数（超Virasoro代数）的表示理论的研究取得突破性进展，彻底分类了N=1、N=2超共形代数的不可约Harish-Chandra模；（6）完成了mirro Heisenberg -Virasoro代数的不可约Harish-Chandra模的分类。