伪抛物型方程的若干理论问题及其应用

本项目拟研究的伪抛物型方程是一类非经典扩散方程, 它具有关于时-空混合导的高阶项, 可以用于描述粘性不可压缩流体之间的相互扩散、渗流理论、濒危物种的聚集机制、色散长波的单向传播等扩散现象..本项目旨在揭示伪抛物粘性继承与发展抛物型及双曲型方程解的一些反应模型所具有的重要物理意义的性质, 为理论分析和数值计算提供一种更符合实际背景的逼近过程. 拟解决的关键问题包括伪抛物型方程解的渐近行为、非平凡周期解的定性性质、伪抛物型方程模型在图像恢复中的应用. 本项目拟研究的内容均是伪抛物型方程研究领域缺少系统分析和讨论的问题, 并且已有的一些经典方法可能不再适用于伪抛物型方程, 我们将根据问题的特点寻找新的研究思路. 我们的研究结果和方法将在一定程度上丰富偏微分方程的理论并对解释某些物理现象提供重要参考.

本项目研究的伪抛物型方程是一类重要的扩散方程，可以用于描述粘性不可压缩流体之间的相互扩散、渗流理论、濒危物种的聚集机制、色散长波的单向传播等扩散现象. 本项目的研究内容主要包括以下两个方面：(1) 解的渐近行为. 通过对两类核函数的精确估计，发现线性伪抛物粘性化的含源热方程的解仍然保持了第二指标. 但是伪抛物粘性却降低了整体解存在时对初值的要求，同时也推迟了爆破解的life span. 此结果真实地反映了模型的物理背景. (2)时间周期解问题. 针对具梯度依赖位势和源项的伪抛物粘性Cahn-Hilliard型方程，除考察了初边值问题和周期问题的适定性，亦证明了解的吸引性，特别的，考虑了伪抛物粘性系数趋于零时解的渐近性态. 本项目的研究意义在于我们所研究的内容均是伪抛物型方程研究领域缺少系统分析和讨论的问题, 并且已有的一些经典方法可能不再适用于伪抛物型方程, 我们根据问题的特点寻找新的研究思路. 研究结果和方法将在一定程度上丰富偏微分方程的理论并对解释某些物理现象提供重要参考.