非线性发展方程解的性质和动力学行为的一些问题

本课题首先针对非线性抛物方程(组)初值和初边值问题解的正性、交界面消失和整体存在、多点和单点爆破、完全和非完全爆破、爆破速率、爆破集、熄灭、淬灭、淬灭速率、Fujita型临界指数、第二临界指数、自模解、生命跨度、一致有界性和大时间渐近性态等问题；其次考虑几类非线性波方程和广义Boussinesq方程(组)解的整体存在性、有限时间爆破、小振幅解的整体存在性和非线性散射、孤立子波解的不稳定性和孤立子波解的爆破；最后针对几类非线性发展方程(组)全局吸引子和指数吸引子的存在性、维数估计、常数平衡态解的局部稳定性和全局稳定性、常数平衡解的图灵不稳定性、正平衡解的存在性和稳定性等问题进行全面而深入细致的研究。这一系列问题是非线性发展方程理论研究中的前沿和热点问题之一。力争在将来几年内解决其中一些热点问题和尚未完全解决的公开问题。

本项目基本上是按原计划进行研究，首先针对非线性抛物方程(组)初值和初边值问题解的整体存在性、爆破、爆破速率、单点爆破、同时爆破与非同时爆破、爆破集、Fujita 型临界指数、临界曲线、第二临界指数、生命跨度、正性、熄灭、淬灭、淬灭速率、交界面、一致有界性和大时间渐近性态等问题进行研究；其次，考虑了几类非线性波动方程(组)解的整体存在性、有限时间爆破；第三，研究了抛物-抛物、抛物-椭圆Keller-Segel趋化模型的整体存在性，一致有界性，渐近行为，有限时间爆破等问题；第四，考虑了几类非线性浅水波方程(例如Camassa-Holm方程、Novikov方程)解的局部适定性、整体解的存在唯一性、爆破准则、持久性质、解析性以及无限速度传播等问题；第五，利用非线性抛物方程变分理论和水平集方法，也开展了图像分割的研究；最后，考虑了一类Lorenz混沌系统和一类Lu系统解的有界性，并且通过数值模拟说明了方法的可行性。通过使用上下解方法，凸分析，能量方法，scaling技巧，傅里叶分析，稳态解和自相似解，带权的时空估计，对于这些热点问题取得了一系列成果。