保结构的间断有限元数值方法及在数学建模中的应用

Among the numerical methods for partial differential equations, discontinuous Galerkin (DG) methods are very important and widely studied with many applications in industrial and applied sciences. There are quite a few kinds of freedom to design DG schemes when choosing the basis functions, numerical flux and so on. It provides several ways of ensuring numerical solutions to satisfy certain structures or properties. Besides giving high-order accurate solutions, DG methods have a great potential to be formulated as parallel computing schemes in order to deal with the large data and heavy computational cost in reality. In general, first-order schemes are able to satisfy the structures of mathematical models in the discrete setting, such as mass conservation, maximum principle, positivity preservation, entropy condition and energy inequality. However, high-order schemes are lacking theoretical results, so people usually use finer meshes or smaller time steps until a numerical solution that satisfies the desired properties is obtained. The project aims at designing DG methods for mathematical models with specific structures and studying the necessary and sufficient conditions to preserve the important structures in the discrete sense, so that the numerical solutions are theoretically guaranteed to have the model structures and be physically meaningful. Furthermore, these DG methods will be applied to the mathematical models for numerical simulations and model calibration.

间断有限元（Discontinuous Galerkin）是偏微分方程数值方法中一种非常重要且被广泛研究和工业应用的格式。它在基函数选取，数值通量等方面提供了相当多的格式自由度，不仅能够提供高精度的数值解，而且有改进成高效率的并行计算格式的潜力，以适应应用问题的大数据，高计算量的需求。对于具有特定结构特征的偏微分方程系统，例如质量守恒，最大值原理，保正性，熵条件，能量不等式等，一阶数值方法普遍能满足这些结构特征。然而高精度格式中，通常采用的方法是网格细化和缩短时间步长，得到较高精度的数值解后，再验证上述结构特征是否成立，是否接纳为物理解。本项目重点在于设计针对这类数学模型的间断有限元格式，研究和分析关于保持其结构特征的数值解的充分必要条件，从而在理论上保证离散数学模型的结构特征和离散物理解的成立，并应用于数学建模的数值模拟和模型校验。

基本完成了计划所列的学术研究工作，完成了下列所述工作：一维/二维各向异性的对流扩散方程满足最大值原理的间断有限元方法；Poisson-Nernst-Planck方程满足保界原理的间断有限元方法；发展了浅水波方程保持平衡态的有限体积方法；动理学方程的hypocoercivity理论分析和数值逼近；二维复杂流体自组织多粒子模型关于列向性平衡态和可加性噪音的数学模型的建立，平衡态收敛性分析和数值模拟；基于波动方程构建水流测速模型，发展相应的二维和三维数值模拟算法；基于热传导方程构建气流体污染物溯源问题的弱解数学模型及其数值方法。待完成的一项计划工作为非局部聚集模型的动理学方程的保界和保熵的间断有限元方法。促成和推动了后续关于介观和宏观数学模型关于列向性和边界条件等问题的研究和数值模拟，以及网络模型上的偏微分方程组保物理结构特征的数值方法的研究。完成了6篇学术论文，其中有三篇因故未按时标注基金序号；两项国内专利；举办了一次国际会议，另一次国际会议因疫情推迟；与国内外学者通过学术会议、互访，建立了良好的学术合作；三名博士研究生进入培养阶段，开展多粒子模型的建模，多尺度推导，分析和数值模拟，以及网络模型上的偏微分方程组保物理结构特征的数值方法。