间断Galerkin有限元方法在双曲守恒律和Vlasov系统中的算法设计及应用

Discontinuous Galerkin methods are a class of finite element methods using completely discontinuous basis functions. They enjoy several advantages, such as local conservation, high order accuracy, excellent parallel efficiency, the allowance of arbitrary triangulation and etc. This project will mainly focus on designing compact limiters for hyperbolic conservation laws containing shocks and other discontinuities, with the goal of obtaining the high order accuracy of the original discontinuous Galerkin method and non-oscillatory property near discontinuities, and applying the compact limiters to various problems that contain shocks, contact discontinuities and other discontinuities. This project is also devoted to designing energy-conserving methods for Vlasov systems, one of the fundamental models in plasma physics. Further more, this project will study the error estimate of discontinuous Galerkin methods using Fourier analysis and study the superconvergence property of various DG methods at some points.

间断Galerkin有限元方法是一类用完全不连续基函数的有限元方法，它拥有局部守恒、高阶精度、容易实现并行化，适用于复杂区域的计算等优点。本项目将主要针对双曲守恒律含有激波等间断的问题，设计既能保持高阶精度又能抑制间断处非物理振荡的紧致限制器，并且推广紧致限制器的应用，更准确地模拟含有激波、接触间断、大梯度、大变形等间断现象的问题及类似问题；本项目也将针对等离子体物理的基本模型Vlasov系统设计能量守恒算法；并将利用傅里叶分析对间断Galerkin有限元方法进行误差估计，研究各种间断Galerkin格式在特定点的超收敛性质。

间断有限元方法是一类采用用完全不连续基函数的有限元方法，相对于传统的有限元方法，它具有更大的灵活性，适用于复杂区域的计算，同时拥有局部守恒、高阶精度、容易实现并行化等优点。..本项目主要研究间断有限元方法在双曲守恒律和动理学方程中的算法设计、分析和应用。重要结果包括（1）针对双曲守恒律含有激波等间断的问题，为间断有限元方法求解非结构网格上的方程组设计了紧致限制器的快速算法，并推广到随机点云框架下，为复杂区域上双曲方程的快速求解提供了思路；发展了二维h自适应网格上的间断单元指示子，提高了间断单元的识别技术；（2）针对等离子体物理的基本模型高维Vlasov-Maxwell系统，设计了基于正则化居方法的能量守恒方法法；并发展了带间断势的Liouville方程的保哈密尔顿量守恒的间断有限元方法；（3）对多种间断有限元方法进行稳定性或误差分析，包括多种直接间断有限元方法的超收敛性质，全离散局部间断有限元方法、全离散直接间断有限元方法和超弱间断有限元方法的稳定性分析和最优误差估计；（4）针对双曲方程含有不确定性的问题，发展了求解动量波模型的稳健累积分布方法，突破了以往算法对随机变量相关性的要求；设计了求解随机磁流体力学方程和一般性双曲守恒律方程组的保双曲性的随机投影方法，克服双曲性缺失引起的不适定性和数值方法的不稳定性；（5）针对非线性高阶方程，发展了两种含不等距子模板WENO有限差分方法来求解Degaspris-Procesi方程；并针对含三阶和五阶导数的Korteweg-de-Vries（KdV）型方程，展了基于单元平均值的神经网络（CANN）方法，该方法对一个初值解进行训练可以用来求解一大类方程，突破了目前大多算法对方程的依赖和时间区域的局限。