高频波的多尺度耦合方法

高频波在地震、水下声学、电磁场、纳米尺度的半导体、量子力学和医学成像及现代通讯等科学和工程领域有极其广泛的应用。由于高频波的本质频率很高，直接模拟高频波的网格步长至少要和波长相当，其计算量超过了如今甚至是未来一段时间计算机的计算能力，因此高频波的计算是科学计算中有重要应用和极具挑战的研究课题之一。本项目研究Schrodinger方程和高频波动方程与半经典极限模型的多尺度耦合方法，以期用比经典力学模型略高但远低于直接模拟高频波的计算量即能有效的计算高频波的大尺度的宏观现象，又能捕捉到某些重要的量子效应以及高频波的衍射等微观行为。

高频波在水下声学，电磁场，纳米尺度的半导体、量子力学和医学成像及现代通讯等科学和工程领域有极其广泛的应用。因为波长相对于整个计算区域很小，直接模拟高频波的网格步长至少要和波长相当，其计算量超过了如今甚至是未来一段时间的计算机的计算能力，因此高频波的计算是科学计算中具有重要应用和极具挑战的研究课题之一。而多尺度耦合方法是求解此类问题的一种有效的方法。. 课题组经过三年的研究系统的发展了求解具有间断势的Schrodinger方程的Gaussian beam方法。在拉式的框架下，得到了高阶的Gaussian beam 方法，并基于Gaussian beam 在时域的展开以及Airy 函数的渐进性质，得到了一维高阶Gaussian beam 的方程和相应的界面条件。并把方法拓展到Wigner方程和非绝热近似的Schrodinger方程组。我们还构造求解此类问题的欧式的Gaussian beam 方法，克服了拉式方法精度不好控制的缺点。为了求解石墨烯的模型，课题组得到了求解三维Dirac方程的Gaussian beam方法。.为了更好的设计多尺度耦合模型，我们对多相波函数提出了一种基于相参数重构的组合beam分解方法。和已有的方法相比，我们的方法在保证精度的前提下，所用的beam数目极大地减小，并进行了较为详尽的理论分析。.对高频的线性波动方程，基于高频波的半经典极限模型和几何衍射理论，我们构造了能够求解波在界面的反射、折射和衍射的欧拉方法，而计算量比求解原来的波动方程要小很多。