常曲率空间的N体问题的中心构型与变分极小解

The curved N-body problem is the natural extension of the Newtonian N-body problem in S^3 and H^3. In 2016, with my PhD supervisor F. Diacu, I defined central configuration for the curved N-body problem, and found some basic properties of the central configurations. Based on these research, this project is about to study the deeper properties of the central configurations and to find more solutions by variational methods. On one hand, we will find more about central configurations. For example, we will focus on the difference between central configurations of the curved N-body problem and central configurations of the Newtonian N-body problem, and try to find out whether these difference of the central configurations will leads to the difference of the motions. We will also study the stability of the relative equilibria associated with central configurations. On the other hand, we will introduce variational methods to prove the existence of symmetric periodic solutions, like choreographies.

常曲率空间的N体问题是牛顿N体问题在S^3, H^3上的自然推广。 我和我的博士导师F. Diacu在2016年定义了该问题中的中心构型，并做了初步的研究。本项目将在已有研究成果的基础之上，综合利用分析、代数、几何和拓扑等方法研究常曲率空间的N体问题的中心构型和变分极小解。一方面我们希望在中心构型方面做更多的研究，例如寻找与牛顿N体问题的中心构型不同的性质， 并研究这种不同是否会导致常曲率空间的质点运动与欧氏空间的质点运动的差异，以及研究一些相对平衡解的稳定性。 另一方面我们期望在常曲率空间的N体问题中系统使用变分极小的方法，并用变分法找到常曲率空间的N体问题的一些舞蹈解。

牛顿N体问题研究N个天体在任意给定质量和初始位置、初始速度的前提下，在万有引力作用下的运动规律。一般的N体问题是一个十分有趣且复杂的理论问题，它是天体力学和经典力学的基本问题之一，并为天体力学各分支学科其它问题的求解提供基础。所谓常曲率空间的N体问题是牛顿N体问题在三维常曲率空间上的推广。其研究内容为三维球面或双曲球面上N个天体在任意给定质量和初始位置、初始速度的前提下，在余切力函数诱导的引力作用下的运动规律。本项目主要研究内容和结果如下：.1. 研究了牛顿N体问题中的塔型中心构型，完整的刻画该类中心构型，并由此解决了Hampton提出的两个公开问题；.2. 研究了常曲率空间的N体问题中的中心构型，首先完整刻画了3体中心构型，接着证明了中心构型集合的紧性，并由此得到中心构型个数的一个下界估计；.3. 研究了常曲率空间的N体问题中一类正多边形相对平衡解的稳定性，证明了其稳定性由其运动速度决定；.4. 研究了常曲率空间的Kepler轨道的变分性质，通过计算Marslov型指标研究了闭轨的局部变分性质，并证明在双曲球面上的闭轨是整体最小。