真正二维任意时空高阶GRP-DG方法

The discontinuous Galerkin (DG) method plays a significant role in the scientific computation of compressible fluid flows and related problems. This proposal mainly considers three difficulties for high order DG schemes: 1. the Runge-Kutta type DG method needs multi-steps for the spatial reconstruction at each time step, thus the computational cost is very expensive; 2. the Lax-Wendroff type DG methods always solve the generalized Riemann problems (GRP) approximately so that some physical information is lost; 3. some multi-dimensional properties are missed in the existing DG schemes which will cause numerical instabilities. The previous research shows that the GRP solver will help for improving the numerical results computed by the DG method. Thus this proposal will investigate to construction of the genuinely two-dimensional arbitrary high order GRP-DG scheme. The researcher will start from combining the one-dimensional second order GRP solver with the DG framework, and then apply the genuinely two-dimensional GRP solver by solving the tangential fluid velocity to construct a genuinely two dimensional GRP-DG method. It is expected that the new scheme will not only have higher computational efficiency compared with the RK-DG method, but also improve some numerical instabilities such as the carbuncle phenomenon, and provide useful numerical schemes for related engineering problems.

在可压缩流体及相关问题的科学计算中，间断Galerkin（DG）方法占有重要地位。本项目主要探究以下三个难点：1. Runge-Kutta型DG方法需在每个时间步对变量进行多次空间重构，计算代价较大；2. Lax-Wendroff型DG方法一般近似求解广义黎曼问题（GRP），导致算法损失部分物理信息；3. 算法未充分考虑流体的多维特性，易引起多维数值不稳定性。本项目组前期研究成果表明GRP解法器有助于改善DG方法的计算结果，因此致力于真正二维任意时空高阶GRP-DG方法的研究。本项目将从一维二阶GRP解法器出发，然后采用求解流体切向速度的二维GRP解法器，将DG方法真正二维化。本研究特色在于算法计算效率的提高以及更多物理信息的引入。申请人期待研究成果可减少算法中变量的空间重构次数，计算更为快捷；同时算法的真正二维化能改善红宝石现象等多维数值不稳定性，为实际工程应用提供有力支撑。

在可压缩流体及相关问题的科学计算中，间断Galerkin（DG）方法占有重要地位。本项目主要探究以下三个难点：1. Runge-Kutta型DG方法需在每个时间步对变量进行多次空间重构，计算代价较大；2. Lax-Wendroff型DG方法一般近似求解广义黎曼问题（GRP），导致算法损失部分物理信息；3. 算法未充分考虑流体的多维特性，易引起多维数值不稳定性。.经过三年的研究工作，本项目组首先基于Runge-Kutta方法的变式发展了二阶和三阶GRP-DG格式，在此基础之上，结合两步四阶时间离散方法发展了时空耦合四阶GRP-DG格式。两步四阶的时间离散方式仅采用两步时间推进就可以达到预期的四阶离散，计算时间与传统多步SSP RK-DG方法相比能节省近50%的计算量。考虑切向效应的GRP解法器被用于GRP-DG格式的设计，引入更多有效物理信息。系列可压缩流体数值算例模拟结果验证了新格式的正确性以及计算效率。此外项目组考察了可压缩流体高分辨率算法的热力学效应，并基于一般状态方程重写了GRP解法器，使其可应用于复杂状态方程。.DG方法作为在工程实际问题中已有广泛应用的一类方法，GRP-DG格式的提出提供了不同于现有常用RK-DG方法的离散思路。新方法不仅能有效提高计算效率，同时能将DG方法与广义黎曼解法器结合发展高阶格式，引入更多物理信息，对实际工程应用有重要意义。本项目有关GRP解法器热力学效应分析方面的探讨，也为新方法在复杂状态方程中的应用奠定基础。