Lang-Trotter猜想，类群及K群相关问题的研究

This project seeks to make significant progress in the study of the following related problems: the Lang-Trotter conjecture of CM elliptic curves,.representations of some integral ternary quadratic forms， the relationship between the Mahler measure and the K-theory of elliptic curves,.the density problems of the class group and K-groups of the ring of integers of a number field, the Dynamic Mordell-Lang conjecture, and the relations between displays, Breuil modules, and Galois representations. We will develop useful techniques to strengthen our original methods.

本项目将致力于数论和K理论中下列相关问题的研究并取得新的成果：带复乘的椭圆曲线的Lang-Trotter猜想、三元二次型表整数问题、椭圆曲线的K-理论和Mahler测度之间的关系、代数整数环的理想类群及K群的相关的密度问题、Dynamic Mordell-Lang猜想、通过建立Display和Breuil-模的对应关系来研究Galois表示. 研究中使用并且发展我们已有的独创方法.

我们超额完成预定目标，在 Proc. Lond. Math. Soc., Math. Res. Lett., J. Pure Appl. Algebra, Manuscripta Math. 等国际著名期刊上接受发表论文 15 篇 SCI 论文, 还有多篇在整理和投稿中. 我们在 Lang-Trotter 猜想和 Mazur 猜想方面取得了重要的结果, 证明了(对某类二次多项式) Hardy-Littlewood 猜想和 Mazur 猜想等价，同时我们还给出 anomalous 素数的密度，否定了 Mazur 提出的平均分布的猜想. 我们解决了田野教授关于三元二次型方面的一个猜想; 推广了 Eichler 变换关系，证明了在一定条件下，有平方因子正整数可以被给定的二次型表示，该结果推广了 Ono 和 Soundararajan、 裴定一和王学理、Kelley 等人的相关结果. 完全解决了有限域多项式环上的 Lehmer 问题； 关于椭圆曲线的 Mahler 测度及椭圆曲线的 Beilinson 猜想的研究，我们也取得重要进展; 在同余数、椭圆曲线的算术、K-理论与三元二次型表整数我们都得到很好的结果.