麦克斯韦方程的垂直模展开法及其在等离激元光子学中的应用

Plasmonics explores the interaction between electromagnetic radiation and metallic nano-structures, which has important applications in information science. Accurate and efficient computational methods are essential for the rapid development of this field. The general numerical methods for Maxwell's equations have been widely used to analyze phenomena in plasmonics, but they often have limitations in accuracy or efficiency. In this research project the vertical mode expansion methods for Maxwell's equations will be studied extensively, the investigator will design reliable and accurate numerical methods such that vertical mode expansion methods can be applied to a wider range of plasmonic structrues. Also, the resonance of nano-particles and the optimization of plasmonic structures will be explored based on vertical mode expansion methods. We expect that accurate mathematical model and efficient numerical methods will be set up for these problems. After completing this program, we expect to provide new numerical methods for the simulation of photonic structures and powerful tools for solving the problems in plasmonics.

等离激元光子学(plasmonics)研究的是金属表面电子在外界电磁场作用下产生集体振荡的现象，在科学中有着重要的应用前景。精确高效的数值方法是这一领域得以快速发展的主要动力之一。通用的Maxwell方程的数值解法由于没有考虑光子学结构在几何形状和材料性质上的特殊性，往往效率较低，限制了它们的应用。本项目将深入系统的研究Maxwell方程的垂直模展开法，目的是对于等离激元光子学结构(plasmonic structure)设计可靠，高效的计算方法，并且基于垂直模展开法去研究纳米粒子结构的共振问题以及完成对一些重要的光子学结构的设计和优化。我们期望能够对这些问题建立严格的数学模型，并发展精确，高效的算法来求解所建立的问题。本项目的完成将为光子学结构的数值模拟以及解决等离激元光子学中的实际问题提供新的有力工具。

本项目是针对科学和数学中所关心的一类实际问题，以目前研究中存在的实际问题为驱动，通过设计新的计算方法来进行Maxwell方程数值解的研究。我们发展了一系列变密度网格的生成算法，使得对于具有奇异性的方程的解能够达到最优收敛速度。研究了有限元方法在这类网格上的条件数，给出了刚度矩阵条件数的严格估计，这些结果对于这类网格的应用以及在变密度网格上设计快速求解算法具有重要意义。我们还发展了垂直模展开法在腔体散射问题中的应用，深入的研究了腔体散射及其优化问题，对这些问题建立了严格的数学模型并设计了可靠，高效的算法来求解所建立的问题。我们相信本项目的研究结果将为光子学结构的数值模拟以及解决电磁散射中的实际问题提供新的有力工具。