基于分数变换的采样和离散化研究

The fractional transform, which is represented by the fractional Fourier transform, is the generalization of the Fourier transform, and is a powerful tool to handle the nonstationary signals and the non-gaussian signals. Recently, the fractional transform has attracted much attention in the signal processing community. The sampling and discretization is the key point in the practical engineering applications for the fractional transform. Therefore, this project is to carry out the research on the sampling and discretization for the fractional transform from the requirement of the practical engineering. In this project, we will propose sampling theory of the random signals from the general nonuniform sampling in the fractional Fourier domain, develop the randomized Sinc interpolation reconstruction method of the random bandlimited signals in the fractional domain for the nonuniform samples which are treated as random perturbations from a uniform grid, analyze of the performance for the reconstruction by the mean square error, reconstruct the theory system for the multiple parameter fractional transform matrices, and exploit their applications in image encryption. The whole research will further develop and enrich the theory system of the fractional transform, and promote its applications in practical engineering.

以分数傅里叶变换为代表的分数变换作为傅里叶变换的广义形式，能够处理傅里叶变换所不能处理的非平稳、非高斯信号，近年来关于分数变换的研究已成为信号处理领域的热点。其中，采样和离散化是分数变换得以在现代信号处理工程实践中应用的基础和关键。本项目从工程实际需求出发，开展基于分数变换的采样和离散化研究。主要研究内容包括：探索分数域中具有一般非均匀采样特点并能够快速准确重建原始随机信号的采样理论，针对具有随机扰动特性的非均匀采样信号模型，研究分数域带限随机信号的随机Sinc插值重建方法，并对该重建方法进行均方误差分析；研究可对角化分数矩阵的特点，构建多参数分数变换矩阵的理论框架，深入研究其性质和特征，并将其应用于图像加密中。本项目研究成果将进一步丰富并完善分数变换的理论体系，推动其在工程实践中的应用。

以分数傅里叶变换为代表的分数变换作为傅里叶变换的广义形式，能够处理傅里叶变换所不能处理的非平稳、非高斯信号。采样和离散化是分数变换得以在现代信号处理工程实践中应用的基础和关键。项目组自2016年项目开始实施以来，对基于分数变换的采样、基于分数变换的离散化、以及基于分数变换采样和离散化的图像处理进行了一系列深入的研究。在基于分数变换的采样方面：提出了非平稳信号的分数域随机非均匀采样和重建方法、多通道一致性采样和重建方法、短采样序列重建均匀采样序列的方法、随机采样的谱估计和重建方法，以及chirp循环平稳信号的分数傅里叶分析；在基于分数变换的离散化方面：建立了针对任意可对角化周期矩阵的多参数离散分数变换矩阵的一般性理论框架，提出了基于算术的较低运算复杂度的离散分数傅里叶变换算法、二维滑动离散分数傅里叶变换；在基于分数变换采样和离散化的图像处理方面：提出了基于分数变阶微分的图像复原方法、基于级联分数傅里叶变换多图像加密算法、基于分数傅里叶变换的牛顿环物理参数快速估计方法、基于图像退化和残差网络的图像超分辨技术、以及基于多字典学习的彩色图像去噪算法。本项目研究成果进一步丰富和发展了基于分数变换的采样和离散化理论体系，推动其在工程实践中的应用。