分数阶微积分函数的分形维数估计及其应用

The present project examines the continuous functions whose graphs display fractal features and which are difficult to describe by classical calculus on the closed interval. Fractional calculus has been used to discribe the local structures of such functions, and to estimate the fractal dimensions of them. We estimate the upper bound of the fractal dimensions of fractional calculus of functions by method of Holder conditions, and estimate the lower bound of the fractal dimensions of fractional calculus of functions by method of the Box dimension or the method of distrubution functions. We want to prove the relationship between the fractal dimensions of functions and the fractal dimensions of fractional calculus of functions is linear under the appropriate conditions. The conclusions of this project have been used to deal with the welding image processing and to fit the network data stream. So we can help to evaluate the quality of welding. It is of great theoretical important to make research on properties and the fractal dimensions of fractional calculus of such functions. Applications of study conclusions in fitting network data stream and welding image processing show that the practical importance of fractional calculus theory applied to medical image processing, automatic control theory, complex network transmission engineering practice.

本项目针对闭区间上图像具有分形结构的的且很难用经典微积分来刻画的连续函数，提出使用分数阶微积分的方法，研究此类函数的局部结构和函数分形维数的变化情况。项目采用Holder条件的方法估计函数的分数阶微积分的分形维数的上界，采用Box维数和分布函数的方法估计函数的分数阶微积分的分形维数的下界。从而证明在适当条件下，函数的分形维数的变化是线性的，即与分数阶微积分的阶之间存在着线性关系。本项目把研究所得结论应用于焊接图像的处理中，帮助评价焊接质量,同时应用到网络数据流量的拟合分析中。研究分形函数的分数阶微积分的性质和分形维数的变化情况，对推动分数阶微积分的研究具有十分重要的理论意义。研究所得结论在网络数据流的拟合与焊接图像处理的应用，对分数阶微积分理论应用到医学图像处理、自动控制理论、复杂网络传输等工程实践中具有重要的实际意义。

本项目针对闭区间上图像具有分形结构的且很难用经典微积分来刻画的连续函数，提出使用分数阶微积分的方法，研究此类函数的局部结构和函数的分形维数的变化情况。项目首先讨论了奇异连续函数、局部分形函数、正则分形函数、非正则分形函数的定义，其次刻画了有界变差函数和一维分形函数的分数阶微积分的分形维数和性质，又讨论了一般分形函数的分数阶积分的分形维数变化情况，最后对具有表达式的特殊分形函数的分数阶微积分的分形维数估计作了一个系统的总结。本项目的研究对分形函数的分数阶微积分的分形维数线性变化理论方面的研究产生了重要的推进，所得研究结果在计算机图像处理中得到了应用。本项目中关于一维有界变差函数的分数阶积分仍然是一维有界变差函数的结论说明连续的非分形函数其分数阶积分的分形维数仍然为1，更进一步的证明具有可列个有界变差点的一维分形函数的分数阶积分的分形维数仍然是1，同时证明一类一般分形函数的分数阶积分的分形维数是不增的。本项目建立了关于分形函数的分形维数关于分数阶微积分的阶呈线性变化的猜测，并努力朝着该方面证明或者试图给出反例。