量子力学相空间表示与坐标（动量）表象间以及相空间态函数表示与分布函数表示间的数学变换和在光学中的应用

In classical mechanics, the coordinate variable and momentum variable can be simultaneously measured with arbitrary precision, and the motion of a particle can be described in phase space. In quantum mechanics, the motion of a particle can be only described in either coordinate or momentum space due to Heisenberg uncertainty principle, and there exist Fourier transformation relationship between wave functions in coordinate representation and in momentum representation. But quantum mechanics is established soon, the quantum mechanical theory in phase space representation was proposed by Fock in 1928. Now, there are two principal representations in quantum phase space theory. The one is to directly construct a variety of quantum distribution function in the phase space. Another method, similar to the usual quantum mechanics, is to directly define the state function in quantum phase space. In this application, the transformation relationship and corresponding boundary conditions are tried to be established between phase space and coordinate(momentum) representations in usual quantum mechanics by using the windowed Fourier transformation, and between state function and distribution function representations in quantum phase space by using continuous wavelet transformation, to understand physical essence of representation theory in quantum mechanics and to assist the applications in various related branches of physics and chemistry.

粒子的运动，在经典力学中可用坐标和动量两变量的相空间描述，而在量子力学中由于测不准关系的制约，只能在坐标或动量表象中描述。早在量子力学刚建立的1928年，Fock就尝试进行量子力学的相空间表示，至今已发展成分布函数和态函数两种表示法。量子力学中相空间表示和坐标（动量）表象间的关系已成为人们长期关注的挑战性问题。本申请拟用窗口Fourier变换探索量子相空间表示和坐标（动量）表象之间的数学变换关系，用小波变换探索量子相空间中分布函数和态函数两种表示法之间的数学变换关系，进而探索不同变换关系的物理本质及约束条件，以及这些变换关系在物理和化学中的应用，特别是在量子光学中的应用。本申请项目是探索性强的项目。如能预期完成，将有助于探讨在同一相空间中量子力学向经典力学的过渡，深化量子力学和经典力学关系的认识，也有利于借鉴坐标（动量）表象的成熟的理论和方法成果，促进相空间表示理论在处理复杂体系中的应用。

粒子的运动，在经典力学中可用坐标和动量两变量的相空间描述，而在量子力学中由于测不准关系的制约，只能在坐标或动量表象中描述。早在量子力学刚建立的1928年，Fock就尝试进行量子力学的相空间表示，至今已发展成分布函数和态函数两种表示法。量子力学中相空间表示和坐标（动量）表象间的关系已成为人们长期关注的挑战性问题。本申主要探索量子相空间表示和坐标（动量）表象之间的关系，探索量子相空间中分布函数和态函数两种表示法之间的关系。证明了：（1）坐标（动量）表象和相空间表象的运动方程和波函数之间的关系是一个窗口傅里叶变换。（2）量子力学测不准关系已自动镶嵌在经窗口傅里叶变换得到的T-F相空间中。（3）T-F量子相空间中Wigner准几率分布函数和几率密度函数的关系是一个小波变换。（4）T-F相空间中的几率密度函数的关系在窗口参数σ→∞（0）时满足准边缘性条件。本申请的研究结果，将会加深理解波函数量子相空间理论和准几率密度函数相空间理论及其之间的关系。相关研究论文待发表。