向量丛范畴与倾斜对象

Study the stable category of vector bundles on the weighted projective lines of type greater than or equal to 4, determine whether they contain tilting objects, and then construct tilting objects for those who contain; describe the relationship between elliptic curves and the weighted projective lines of genus 1, and then discuss whether the category of vector bundles on an elliptic curve can become a Frobenius category; extend the notions of generic modules, Pruefer modules and adic modules to the category of quasi-coherent sheaves on the elliptic curves and the weighted projective lines of genus less than or equal to 1, observe the role played by these objects in the classification of the coherent sheaves category, and then construct tilting objects and cotilting objects over the category of quasi-coherent sheaves. The above studies involve algebraic geometry, algebraic representation theory, singularity theory and nilpotent operator theory, and several other study fields of mathematics. It is not only new exploration to the category of quasi-coherent sheaves on projective lines and elliptic curves, but also the further exploration of the interdisciplinary study.

研究权型大于等于4的权投射线上向量丛范畴的稳定范畴，确定并构造稳定范畴中的倾斜对象；刻画椭圆曲线与亏格为1的权投射线之间的关系，进一步探讨椭圆曲线上的向量丛范畴能否成为Frobenius范畴；将代数表示论中热门的研究对象generic模、Pruefer模及adic模推广到椭圆曲线以及亏格小于等于1的权投射线的拟凝聚层范畴中，考察这些对象在凝聚层范畴的分类中所起的作用，并利用这些对象来构造拟凝聚层范畴中的倾斜对象与余倾斜对象。以上研究，涉及代数几何、代数表示论，奇异理论和幂零算子理论等几个数学分支，是权投射线及椭圆曲线上的拟凝聚层范畴理论的新探索，也是学科交叉前沿的进一步探索。

权投射线，一类由Geigle-Lenzing引入的非交换曲线，在代数表示理论、代数几何、李代数、奇异理论及幂零算子的不变子空间问题等研究中起到非常重要的作用。倾斜理论是代数表示论中重要的研究工具，是构造范畴之间等价以及揭示不同代数内在联系的一种非常有效的方法。本项目以权投射线及其拟凝聚层范畴作为研究对象，以向量丛稳定范畴及凝聚层范畴上的倾斜理论、权投射线与椭圆曲线之间确切的联系以及特殊拟凝聚层的性质作为主要内容展开研究，得到的成果包括：(1)考察权型为(2,2,2,2;λ)的权投射线上向量丛稳定范畴的倾斜对象。利用cluster理论，实现向量丛稳定范畴中的所有倾斜对象及凝聚层范畴中所有倾斜对象的自同态代数的完全分类。(2)描述权型为(2,2,n)的权投射线上凝聚层范畴中的所有倾斜丛，证明由倾斜丛诱导的从权投射线上凝聚层范畴到相应自同态代数的有限生成模范畴的对应中“丢失的部分”具有abelian范畴的结构。(3)通过给出确切的有限群及具体的群作用，证明亏格为1的权投射线的坐标环以及椭圆曲线的坐标环可由有限群作用互相得到。进一步地，证明了亏格为1的权投射线上的凝聚层范畴与椭圆曲线上的凝聚层范畴之间也存在相应的有限群作用的关系。(4)刻画亏格为1的权投射线上Prüfer层与adic层的一些重要特征，证明了可以用Prüfer层及adic层对凝聚层进行分类。通过描述Prüfer层及generic层的关系，给出两种构造generic层的方法。如上研究成果，为扩大权投射线在代数表示理论研究领域的应用范围，完善权投射线上凝聚层范畴的倾斜理论，建立权投射线与特殊代数簇的联系以及系统研究权投射线上拟凝聚层范畴的整体结构奠定了坚实的理论基础。