分数阶黏弹性阻尼振子的机械能研究及控制律设计

With the wide application of viscoelastic materials in structural vibration control engineering and the development of fractional constitutive relations, the dynamics stability analysis and fractional control for the fractionally viscoelastically damped structures have become a prospective research topic. This project is on the mechanical energy and control of vibration in fractional oscillators of Zener type. Firstly, the total mechanical energy in single-degree-of-freedom fractional oscillators is determined along with mean equivalence viscous damping coefficients and stiffness coefficients. Secondly, fractional sliding mode control and fractional optimal control are proposed to suppress vibrations in single-degree-of-freedom fractional oscillators. Thirdly, initialization issues of fractional differential equations are established to investigate historical effects on dynamical response and control of fractional oscillators. Lastly, fractional differential equations of motion and optimal control design of suspension systems are proposed. .In this project, the initialization theory for fractional calculus, the stability theory for fractional differential equations, and fractional control theory will be deeply explored. Besides, this project will provide a novel idea for integrative vibration control for the viscoelastically damped structure in the structure vibration control engineering.

随着黏弹性阻尼材料在结构振动控制工程中的广泛应用以及分数阶本构关系的发展，黏弹性阻尼结构振动的分数阶建模、动力学分析及其控制方法的研究逐渐吸引国内外学者的关注。本项目申请人在已有相关研究成果基础上，拟对分数阶Zener振子的机械能及其滑模控制、最优控制设计方法开展理论研究。主要内容为：确定单自由度分数阶Zener振子的机械能，计算分数阶阻尼的平均等效黏性阻尼系数及平均等效刚度系数；设计单自由度分数阶Zener振子的滑模控制律及最优控制律；建立分数阶振动方程的初值问题，得到方程解的存在唯一性条件，考察黏弹性阻尼器的记忆效应对分数阶振子动力学响应及其控制系统的影响；最后作为一工程实例，建立工程车辆黏弹性悬架系统的分数阶振动方程，并设计分数阶最优控制律。.本课题的研究不仅能为解决黏弹性阻尼结构的一体化振动控制问题提供新思路的探索，而且可丰富分数阶微分方程的初值理论、稳定性理论以及分数阶控制理论。

黏弹性阻尼材料广泛应用于结构振动控制工程。为了预测弹性-黏弹性复合结构的动力学行为并设计振动控制系统，一个首要的任务是建立精确的黏弹性阻尼模型。分数阶微积分为黏弹性阻尼建模提供了强大、有效的数学工具。分数阶振子是弹性-黏弹性复合结构的简化力学模型，其中黏弹性阻尼力由分数阶导数描述。本项目根据单自由度和两自由度分数阶振子的运动微分方程，确定机械能的数学表达式，计算等效黏性阻尼和等效刚度；设计滑模控制律；对RL导数和Caputo导数初始化，证明其等价性。.成果及科学意义如下：（1）确定并分析单自由度Zener振子机械能。引入状态变换消除方程中外部激励力的分数阶导数项，提出“分数阶虚振子”的概念。得到其机械能的数学表达式，从能量的观点将分数阶阻尼等效为粘性阻尼和刚度。这一等效不仅将黏弹性材料的“粘性”和“弹性”从分数阶阻尼中分离出来，而且分数阶振子的动力学方程可以近似转化为整数阶微分方程，便于数学上的处理和工程上的应用。（2）确定两自由度Zener振子机械能、设计滑模控制律。通过状态变换得到对应的虚振子，确定机械能的数学表达式，分析虚振子的机械能变化。针对两自由度分数阶振子的振动控制问题，采用滑模控制技术设计主动控制律，并对控制系统进行数值仿真。（3）从二阶Volterra积分-微分方程出发，确定出反映黏弹性阻尼历史效应的初始条件，证明单指数卷积型阻尼系统初始化响应的渐近稳定性。（4）对RL导数和Caputo导数进行初始化，证明两个初始化导数的等价性。指出“记忆性”是分数阶导数的内在属性，分数阶导数初始化的过程就是描述具有“记忆性”的动力系统在初始时刻以前的“历史效应”的过程；对于同一个函数，根据不同的分数阶导数定义求出的导数值是不同的，原因就在于分数阶导数的初始条件没有得到正确的表示；既然初始化以后的分数阶导数是等价的，在数学建模时就不必纠结选用哪一种分数阶导数。