反射群及Hecke代数的W-图表示

We study real reflection groups, complex reflection groups , Hecke algebras and their representation theory and some related algorithms. We focus on the following aspects: .the structure, properties of Coxeter groups and Kazhdan-Lusztig theory of Hecke algebras; especially, the W-graph representation theory of Hecke algebras and algorithms; for some Hecke algebras, we study the connections between their module representation theory and Kazhdan-Lusztig theory , where the former is combinatorial object and the later has deep geometric background. We study the automorphism, rigidity, conjugacy of Coxeter groups and relations with Lie theory and infinite Coxeter groups..With pure algebraic method, we study extreme set theory, which is an important area of combinatorics. We study imprimitive reflection groups by using the results obtained in the representation theory of groups..These are hot internationally issues in the academic community of algebra and combinatorics, we hope to get breakthroughs in these fields.

本项目主要研究实反射群、复反射群、Hecke代数以及它们的表示理论与计算方法. 工作重点涉及以下方面：研究Coxeter群的结构、性质及其Hecke代数的Kazhdan-Lusztig表示理论， 尤其是研究Hecke代数的W-图表示理论及算法； 在一些Hecke代数中探索两大表示理论之间的联系， 即 具有组合数学背景的模表示理论与具有深刻几何背景的Kazhdan-Lusztig表示理论； 研究Coxeter群的自同构、刚性、共轭及其与李理论的联系； 研究无限Coxeter群理论. 本项目还将利用群表示论的有关结果研究非本原反射群；用代数学的方法研究组合数学的重要领域-极值集合论..这些是国际代数学界及组合数学界的热点问题， 我们期望在这些问题上取得突破.

本项目围绕反射群及其Hecke代数的结构与表示理论、相关的组合数学、一些量子化代数展开研究。 . 在资助期间，我们解决了一些国际表示论界及组合数学界关心的热点问题。 我们研究了加权的Coxeter群及多参数的Hecke代数的Kazhdan-Lusztig表示理论、算法及其相关的组合数学。在这方面我们引入了W-图表示、W-图理想等概念；建立了W-图表示基元素的表达式， 推导了一系列Kazhdan-Lusztig R-多项式及P-多项式的计算方法，证明了对偶性定理， 推广了一些著名结论。在反射群及一般线性群的极值组合理论方面，我们研究了经典Coxeter群的相交族问题，将著名的EKR(Erd˝os–Ko–Rado)定理推广到了B型和D型。我们研究了一些量子化代数，包括量子Weyl代数及其张量积，在其自同构群、同调性质等方面取得进展。.这些结果具有一定的国际影响。尤其是，我们在多参数情形的结论具有广泛的理论意义和计算方法意义，可用来完全解决A型的W-图表示问题， 在一定条件下的B型的问题。在研究过程中我们也发现了一些新的研究对象，有望用来研究更广泛的表示理论及组合数学。