张量分解方法及其在医学成像中的应用

张量分解是应用科学中的一个前沿研究课题，它在医学成像、信号处理、心理测验学等领域有广泛的应用，且越来越受到重视。这类问题的最大特点是规模超大，以至于无法套用现成的数值方法求解。本项目拟对该问题开展如下研究：首先基于多线性代数理论和最优化技术探讨张量分解问题解的结构性质，如解的唯一性及正交不变性等；其次，通过扰动、松弛、对偶等传统优化技术及平移、镶嵌等新技术建立张量分解的新的转化形式，以期建立快速高效的数值算法并对之进行理论分析和数值分析；最后，探讨它在医学成像中的应用并编制有效的实用程序。该研究不仅能推动多线性代数和非线性优化的融合与交叉，而且具有实际应用价值。

基于多线性代数理论和松弛技术, 本项目对几类中大型的张量分解问题及其在医学成像和量子力学中的应用进行了深入研究，取得了系列成果。对4阶部分对称张量的秩-1分解问题，我们通过对目标函数做平移，将其化为凸函数，然后建立了一个交替算法。对该算法，我们不但借助张量的矩阵展开形式，给出了一个初始点取法，而且借助问题的二阶最优性条件给出了算法的收敛速度估计。对对称张量问题的秩1-分解问题，我们通过挖掘问题的结构性质，借助目标函数的二阶信息建立了该问题的一个二阶算法。对张量问题的稀疏分解问题，我们建立了该问题的一个L-1罚因子束优化模型，讨论了罚因子对各分解因子稀疏度的影响，为该模型中罚参数的合理取值提供了理论依据，它推广了Lasso优化模型中稀疏向量解的理论结果. 对双离子量子纠缠问题, 我们借助几何度量, 建立了一个部分厄米特的张量正交分解模型。又通过模型分析，将其化为一个无约束优化问题，进而建立起一个有效的梯度型数值算法. 对非负张量的低秩分解问题, 借助单位球上的多项式优化问题，证明了问题的NP-难性质，然后通过松弛技术得到了该问题最优值的一个上界，并给出了一个光滑化牛顿算法。我们还研究了具有特殊结构的强H张量的性质，判定法则和判定方法。我们对所设计的算法都进行了理论分析, 并就医学成像和量子力学中的一些实际问题进行了数值仿真,效果良好.