长程关联复杂系统的有效力分析及其应用

In long-range interaction complex systems, the velocity is divergent and integrable everywhere. Because the velocity is divergent, the instantaneous velocity may not be defined. We may take the product of the change rate of average velocity on time interval and mass as an available force. It is important to note that the available forces obtained in different time intervals are various different. This project will start from the dynamics of the system, analyze the correlation of the available forces in different time intervals, and establish the bridge of dynamics and statistical physical properties in complex systems. In addition, the project will research the associated probability distribution problem on the coupled complex systems based on the dynamical characteristics of the available force, especially to study the associated probability distribution that does not satisfy the independent principle of multiplying. Moreover, we will also study the real time series data and explore the laws of statistical physics in realistic systems. The results obtained may play the role of guidance and forecasts for the investigation of actual systems.

在长程关联复杂系统中，速度具有处处发散和处处可积的特性。由于速度发散性的存在，瞬时速度没有了定义，我们便把平均速度对时间间隔的变化率乘以质量定义为有效力。必须注意到的是，在不同时间间隔下得到的有效力也是不同的。本项目将从系统本身的动力学出发，重点分析有效力在不同时间间隔下取值之间的关联形式，并在此基础上研究系统的统计物理性质，进一步建立长程关联复杂系统中动力学规律和统计物理性质的桥梁。另外，本项目还将基于有效力的动力学特征，研究耦合复杂系统中的关联几率分布问题，特别是对关联几率分布不再满足独立相乘原理的情况作统一描述。同时本项目还将结合时间序列实验数据进行实证，探索统计物理基本定律在非理想化的实际系统中的表述形式。获得的结果对实际系统的研究可起到指导和预测的作用。

我们从反常扩散关系式出发，把平均速度对时间间隔的变化率乘以质量定义为有效力。进一步的，我们分析了不同时间间隔内受到的有效力的相互关系。我们发现当不同时间间隔内的有效力的相互关系满足一定情况时，运动具有长程关联的效应。接着，我们发现运动呈现反常扩散的现象，并且位移的分布具有肥尾性并满足q-高斯分布关系。在此基础上，我们还发现通过具有对称性的有效力关于两倍时间间隔速度的条件几率分布函数可以求解不具有对称性的两个连续时间间隔速度的条件几率分布函数。我们得到了对于任意长程关联系统，两个连续时间间隔速度的条件几率分布函数都可以写成含有六个参数的解析式。我们选用了外汇高频数据进行实证，我们发现理论值和实际数据都可以很好的吻合。总的来讲，本项目进行的有效力分析方法可以很好地描述的自然界中普遍存在的长程关联复杂系统。