Lévy噪声驱动的随机偏微分方程的若干问题

Based on the topic of diffusion processes with jumps, this project intends to study the properties of stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by Lévy processes, such as ergodicity, large deviation principle, heat kernel estimates and so on. Specifically, following problems will be investigated in this project: (1) Dirichlet heat kernel estimates of nonlocal operators. To study the two-sided Dirichlet heat kernel estimates for nonlocal and non-symmetric operators, and the Dirichlet heat kernel estimates for the operators perturbed by gradient operators. (2) The study of singular SPDEs with jumps. We intend to study the pathwise uniqueness and properties for bounded Holder continuous coefficients or weaker regular coefficients SPDEs driven by additive cylindrical α-stable processes. And SPDEs with multiplicative noise are researched also in this project. (3) The study of SPDEs (including the stochastic Navier-Stokes equation) driven by Lévy processes or degenerate Brownian motion. In this case, we’ll study the properties of the solutions, such as the existence and uniqueness of the solution, ergodicity, large deviation principle, functional inequalities and so on. Meanwhile, we hope some breakthroughs in the research on the ergodicity of stochastic 2D Navier-Stokes equations driven by degenerate multiplicative Brownian motion.

本项目拟以跳扩散过程为主题，研究Lévy过程驱动的随机偏微分方程解的性质，主要包括遍历性、大偏差、热核估计等。具体有以下3个问题：(1)非局部算子的Dirichlet热核估计，主要研究非局部非对称算子的Dirichlet热核双边估计和梯度扰动的Dirichlet热核估计。(2)带跳的奇异系数随机偏微分方程，主要研究可加柱状α-稳定过程驱动的Holder连续系数、有界系数、满足更弱正则性条件系数、或可乘噪声情形等随机偏微分方程强解的轨道唯一性及其性质。(3)退化噪声和Lévy噪声驱动的随机偏微分方程，主要研究退化噪声或Lévy噪声驱动随机偏微分方程 (包括随机Navier-Stokes方程) 解的性质，如解的存在唯一性、遍历性、大偏差原理，以及泛函不等式等，并希望在一般退化乘法噪声下二维随机Navier-Stokes方程遍历性研究有所突破。

本项目的整个研究基本上是按照计划进行的，主要研究了（1）非局部算子Dirichlet热核估计, 包括：梯度扰动下Dirichlet分数阶拉普拉斯算子的热核估计;梯度扰动的谱分数拉普拉斯函数的Sharp热核估计。（2）随机多孔介质方程的适定性及解的性质。（3）α-稳定过程驱动的随机微分方程，包括：给出了Hölder连续系数随机微分方程解的Feynman-Kac半群以及建立了导数公式和梯度估计；证明Holder连续漂移的柱状α-稳定过程驱动的随机偏微分方程解的轨道唯一性。（4）解随机过程密度的存在性，包括：跳过程Wiener-Poisson泛函的运动极大值的密度函数存在的一个判据； Levy-Ito扩散的运动极大值的密度函数的存在性；Hormander条件下，一类带马氏切换的随机微分方程解光滑密度的存在以及相应的Bismut公式和强Feller性。（5）遍历性，包括：高度退化的纯跳跃Lévy噪声驱动的随机偏微分方程族的指数混合性；α-稳定过程驱动的随机微分方程的强适定性；一类退化的α-稳定过程驱动的随机偏微分方程解的指数遍历性；随机3维分数阶Leray-α模型的指数混合性质；转移半群的渐近log-Harnack不等式，渐近强Feller性和遍历性；(6) 两时间尺度随机微分方程的平均化原理，包括：局部 Lipschitz 连续的随机微分方程，McKean-Vlasov随机微分方程，带Hölder连续系数的随机偏微分方程，随机Burgers方程，随机二维 Navier-Stokes 方程，随机三维分数阶Leray-α模型，随机Ginzburg-Landau方程等。在不同的噪声(包括了布朗运动，柱状α-稳定过程，Levy过程)驱动下，利用时间离散化，停时，Zvonkin变换以及Poisson方程等方法和技巧，证明了慢分量强或弱收敛于对应的平均化方程，部分结果得到了最优的收敛速度。(7)大偏差原理，包括：分数耗散随机三维Leray-α模型的大偏差，局部单调系数随机偏微分方程的小时间渐近性，两时间尺度随机Burgers方程的大偏差原理。.在本项目基金的支持下，主持人和项目组成员共完成学术论文26篇，其中在国内外学术期刊上公开发表23篇，3篇待发。举办4次会议，邀请一批国内外学者讲学；在南开大学培养博士1人；招收硕士研究生40多人。