交错符号矩阵猜想及其相关组合问题研究

This project is focused on studying two objects combinatorially, namely, the alternating sign matrices (ASM) and the descending plane partitions (DPP). It builds on the fact that these two objects are equinumerous and targets at finding a bijection, or more generally an involution that explains this fact. In the process, we will first take a systematic study of all the fifteen related conjectures concerning ASM and other combinatorial objects, pay special attention to its relations with the six vertex model called "Square Ice" and the totally symmetric self-complementary plain partitions (TSSCPP), in the hope of gaining better understanding of the intrinsic mechanism under the established numerical equivalence. Lastly, we will track back to the origin of ASM and study the associated "Laurent Phenomenon" and "Cyclic Sieving Phenomenon". In the end, we hope to utilize our newly acquired bijection to give rise to new identities and more general results.

本项目以交错符号矩阵（ASM）和递降平面整数分拆（DPP）为研究对象，以它们之间等量的计数关系（含参与不含参的）为基础，用组合的方法来系统地研究二者之间内在的联系，以建立起一一对应的双射或是对合的映射为终极目标。在研究过程中首先对包括原猜想在内的共计3个大类15个猜想进行认真梳理，进一步探索ASM与其他组合对象包括统计力学里面的六顶点模型"Square Ice"、完全对称的自互补平面分拆（TSSCPP）之间的联系与区别，为深入分析表面上数量关系的相等所蕴含的本质关联提供思路，最后溯源ASM的产生，理解并进一步挖掘它所呈现出来的Laurent Phenomenon和Cyclic Sieving Phenomenon这两大特质。最终利用我们建立起的双射，在原有的基础上探寻新的等式或是更广义的结论。

本项目的研究背景源于对交错符号矩阵（ASM）猜想及其相关问题想从组合的角度进一步深入了解的想法，但随着项目的逐步进行以及对原问题的了解逐步深入，我们对项目的研究内容进行了反思，合理修正为以下两项：..1. 对分拆恒等式给出组合证明，为分拆同余式找到相应的细分统计量从而给出组合解释。.2. 对排列或是集合分拆等组合对象上的统计量同分布问题给出双射或是对合的证明。..取得的主要研究成果按发表论文来看，项目期间总计发表论文9篇，其中SCI收录的期刊有7篇，分别发表在Ramanujan Journal、Electronic Journal of Combinatorics、International Journal of Number Theory、Journal of Number Theory、Advances in Applied Mathematics、Discrete Mathematics等期刊。..这其中属于第一项研究内容的有7篇，主要结果包含对固定最大钩长的分拆进行计数并加细、为三种经典Theta函数所对应的特定多重分拆所满足的同余式探寻统一的类rank统计量并成功给出组合解释、引入一类新的分拆（k-互异分拆）从而将两个著名分拆恒等式框入同一个分拆模型里面并对一般的乘积公式给出组合证明等等。属于第二项研究内容的有两篇，一篇是对非交错的集合分拆上的统计量联合同分布问题给出组合证明从而加细已有结果，另一篇则是考虑了两类新的单峰型“降位多项式”，对第一类用组合方法证明其具有更强的Gamma非负性，第二类则是证明了更强的螺旋形结构。该文一经发表就受到了广泛关注，被最新的关于Gamma非负性的综述性文章引用。..总的来说，虽然本项目的最终研究内容与一开始所设想的有所出入，但还是秉持了以组合证明、双射证明为主的研究方法。所取得的研究成果也可以说是超过预期。