实现鞍点间切换动力学的局部化方法研究

The switching phenomena among saddles can reflect the input information，which could be applied to build information process model based on nonlinear dynamics. However, the difficulty of realization switching dynamics in large systems, together with the unclear correspondence between network structure and switching dynamics, are two major obstacles for applications. In this project, we focus on to present a new method to reproduce switching dynamics in networks of pulse-coupled oscillators. The switching dynamics is predictable from the given network structures. The crucial point is to make the states of the system to the local region of a class of saddles with clear relation with network structures. Specifically, we first obtain a types of saddles with topological properties, and design networks according to these saddles. Then, we investigate the detailed ways to realize localization, which mainly adjusts the states of the system to the local region of saddles, by avoiding the sates being attracted by the stable attractors. This can obtain sustainable switching dynamics. Lastly, the correspondence of network structure and switching dynamics is investigated, and the intuitive switching rules among saddles will be obtained. The results of this project will provide a new method which can flexibly manipulate the switching dynamics in phase space through the manipulation of network structures. Hence the project will provide theoretical foundation for the wide potential applications of switching dynamics.

鞍点间的切换现象可反映外部刺激信息，是建立基于非线性动力学的信息处理模型的重要依据之一。然而如何在大耦合系统中实现切换现象，以及获得耦合结构和切换形式的清晰对应关系，是制约其应用的两个关键难点。拟针对脉冲耦合振子系统，提出一种实现从耦合结构出发即可预测切换动力学形式的新方法。其核心是局部化思路，即将全局的状态调整到一类跟耦合结构有确定关系的鞍点的附近。包括：首先找出一类与耦合结构有确定关系的鞍点，并据此设计耦合结构；其次研究局部化的实现途径，以将系统状态调整到鞍点附近，避免系统状态落在稳定吸引子上，从而产生可持续维持的切换现象；最后研究耦合结构和切换形式的对应关系，并获得各鞍点间切换的直观规则。本项目的研究将使得相空间中的异宿切换现象可简单地由耦合结构直接确定，有望为切换现象的进一步应用提供很好的理论基础。

非线性系统依次在多个不同亚稳状态之间的切换现象可用来反映输入，因而被应用于建立基于动力学的信息处理模型。此种切换现象也被应用到模式识别和机器人避障等实际问题中。基于此背景，本项目针对脉冲耦合振子这一类高维动力系统，研究如何实现实现结构和切换现象对应关系清晰的异宿切换现象，以及从局部动力学性质来探讨稳定性和吸引子之间的关系。 具体的研究进展包括：1）提出一种基于局部化思想的产生切换现象的新方法。该方法将全局的异宿轨迹巧妙地转换到亚稳态的局部来考虑，将系统的状态调整到亚稳状态的附近，根据输入的性质实现了各亚稳状态之间的可预测切换，在系统结构和最终的切换形式间建立了一一对应关系；2）提出只对有限大小扰动敏感而产生切换现象的方法。通过对耦合函数的局部作简单的调整，引入局部收缩的动力学，通过发散和收缩两者的合作，实现了原来系统中一类不稳定吸引子的可控吸引域大小，并基于此实现了只对有限大小扰动敏感的切换现象；3）发现一类新的吸引子：部分不稳定吸引子。该类吸引子，不同于以往的只具备相同属性稳定性的周期解，既可以包含稳定的点，也可以包含不稳定的点。本项目为高维系统中产生异宿型切换动力学提供了新的思路和方法，此外对吸引子和稳定性之间的关系提供了新的结论。所获得的成果有可能应用到机器人避障以及脉冲耦合的无线网络传感器等，因而本项目的研究具备潜在的应用前景。