流体动力学方程的Fourier局部化方法

本项目主要研究现代物理学中出现的几类重要流体动力学方程。拟采用现代调和分析的Fourier频谱局部化技术，结合Littlewood-Paley理论、Bony的仿积分解、函数空间理论等工具，来研究如下的数学问题。(1)二维理想磁流体方程整体光滑解的存在性、三维磁流体方程光滑解的Blow-up准则；双层磁流体方程在临界空间的适定性和爆破准则以及其与经典磁流体方程之间的关系。(2)建立理想Boussinesq方程频谱层次上的判别准则，对具有部分粘性的Boussinesq方程建立光滑解的爆破准则，在一般临界型空间（如： Besov空间，Tribel-Lizorkin空间等）研究Boussinesq方程的适定性。（3）研究MHD-α.及其相关方程弱解的正则性以及方程的解与经典MHD方程解之间的关系。希望通过本项目的实施，增加对流体动力学的数学理解，推动流体动力学及相关学科的发展。

（1）利用Littlewood-Paley分解、Bony的仿积分解技术以及定常相估计(stationary phase estimate)和Bessel函数的相关性质（Ⅰ）研究了一类广义MHD方程的适定性及弱解的正则性, 改进了一些已有的正则性结果；（Ⅱ）研究六阶Boussinesq型方程小初值解的整体存在性、唯一性及其小初值的散射结果；（Ⅲ）研究三维零角粘度微极流体，建立了Osgood型正则性准则。.（2）利用相互作用的Morawetz估计，简化了Hartree方程在能量空间上散射结果的原有证明。