几类积分、微分不等式及其在脉冲时滞微分方程和随机微分方程中的应用

积分不等式在微分方程的定性及定量的研究中起着非常重要的作用。对于大多数的微分方程来说解析解根本无法求出，有时用不动点方法、重合度方法、上下解方法和Lyapunov方法进行定性分析也十分困难，因此对微分方程解的模的估计就显得尤为重要。虽然目前积分不等式的研究成果很多，但用积分不等式方法研究脉冲时滞积分-微分方程边值问题和随机微分方程解的成果很少。本项目将关注这方面的问题，研究内容包括：(1)深入研究非线性时滞积分-微分不等式、脉冲时滞积分-微分不等式、随机积分不等式、差分不等式和微分方程比较原理。（2）利用积分不等式和比较原理对脉冲时滞积分-微分方程边值问题和随机微分方程的解进行估计，进而研究解的存在性、特别是周期解的存在性和概周期解的存在性，研究解的有界性、唯一性、稳定性、吸引性和振动性等性质。

微分方程（或差分方程）是研究自然科学、工程技术及社会经济发展规律的重要工具,但是多数微分方程（或差分方程）很难求出它们的显示解析解. 然而, 对于特殊类型的微分方程（或差分方程）我们可以通过积分方法（求和技巧）推出一个积分不等式（或差分不等式）. 利用比较原理可以通过所得积分不等式（或差分不等式）对微分方程（或差分方程）解的模做出估计. 因此Gronwall- Bellman型积分不等式是研究微分方程（或差分方程）解的存在性、有界性和稳定性等定性性质的重要工具. 为了研究不同类型的微分方程（或差分方程）, 数学工作者不断地对Gronwall- Bellman型积分不等式（或差分不等式）进行各种推广, 使它的应用范围不断的扩大. 本项目主要做了如下工作：.(1) 把已有的线性迭代积分不等式推广成非线性积分不等式, 利用微分积分技巧和比较原理给出了不等式中未知函数的估计, 并把所得结果用于研究时滞微分方程边值问题解的有界性和解的唯一性问题..(2)把已有的Volterra-Fredholm型积分不等式和线性迭代积分不等式推广成Volterra-Fredholm型非线性时滞迭代积分不等式，利用微分积分技巧和反函数技巧给出了不等式中未知函数的估计, 并把所得结果用于研究时滞Volterra-Fredholm型积分方程解的有界性..(3) 研究了Volterra-Fredholm型差分不等式和其它形式的差分不等式, 利用求和技巧、差分技巧、函数的单调性和反函数的存在性给出了未知函数的估计, 并把所得结果用于研究相应类型差分方程解的有界性..(4)研究了奇异差分不等式和奇异积分不等式及其应用,利用Holder不等式, Cauchy不等式,离散Jensen不等式把奇异差分不等式(或奇异积分不等式)转化成非奇异差分不等式(或非奇异积分不等式),再利用差分不等式(或积分不等式)技巧,求出未知函数的估计.