具有隐含关系的差分方程的有界性与稳定性

In this project, the difference equations with implicit relations are studied. These equations, same as common difference equations, have extensive applications in natural science, engineering and technology. It is encountered in numerical algorithms such as the trapezoidal method etc. There are few results on the difference equations with implicit relations. The aim of this project is to study the difference inequalities with implicit relations, and to apply obtained results to study the boundedness and stability of the difference equations with implicit relations. Furthermore, using fixed point theory, the upper and lower solution method and the monotone iterative technique, we study the Lyapunov stability and robust stability of the control system of discrete time-varying and high order difference equations with implicit relations.

本项目研究具有隐含关系的差分方程, 同一般的差分方程一样, 它在自然科学、工程技术中有广泛应用, 而且在如梯形方法等数值算法中遇到. 对带有隐含关系的差分方程的研究存在大量空白, 甚至连基本的存在唯一性结果都不多. 本项目通过研究具有隐含关系的差分不等式. 进而用于研究这类差分方程的有界性和稳定性. 结合不动点方法、上下解方法及单调迭代技术，研究高阶隐含差分方程和离散时变控制系统的稳定性和鲁棒性.

对于具有隐含关系的差分方程,同一般的差分方程一样,它在自然科学、工程技术中有广泛应用, 而且在如梯形方法等数值算法中遇到。对带有隐含关系的差分方程的研究存在大量空白, 甚至连基本的存在唯一性结果都不多。本项目通过研究具有隐含关系的差分不等式，进而用于研究这类差分方程的有界性和稳定性。 结合不动点方法、上下解方法及单调迭代技术，研究高阶隐含差分方程和离散时变控制系统的稳定性和鲁棒性。研究的内容包括：(1)深入研究差分方程比较原理、非线性差分不等式及其在随机差分方程和分数阶差分方程中的应用；（2）利用差分不等式技巧和离散Lyapunov函数研究离散时变控制系统的稳定性和鲁棒稳定性； (3）综合运用Lyapunov方法、不动点方法、上下解方法、单调迭代技术和比较原理和差分不等式方法研究几类具有实际意义的差分方程模型解的存在性、有界性、唯一性、吸引性、持久性、稳定性。研究成果首次研究了一类新的非单调函数积分不等式，该不等式中右端有多个积分项，每个积分项的被积函数包括未知函数与非单调函数的复合函数。由于涉及多个积分项，直接得不到统一的放大因子。为克服这些困难，本项目首次由非单调函数列构造强单调函数列，最终对具非单调性含多项积分的积分不等式给出未知函数的估计，进而用不等式结果研究相应微分方程或积分方程解的有界性、解对初值的连续依赖性和解的唯一性问题，推广了已有文献的结果。首次研究了一类新的时滞积分不等式和具有迭代积分的积分不等式。利用适当的微分方程比较原理、变量替换技巧和积分,研究时滞积分不等式，给出不等式中未知函数的估计，推广了已有文献的结果。还利用数学归纳法和不等式技巧研究了非连续非线性函数积分不等式，给出不等式中未知函数的估计，推广了已有文献的结果。