C*-代数的Cuntz半群的n-比较性质与插值性质的研究

In early 1970s, K-theory was introduced as a tool in the classification of C*-algebras. As a generalization of K-theory, the Cuntz semigroup of a C*-algebra is a positively ordered Abelian semigroup whose elements are equivalence classes of positive elements in matrix algebras over the underlying C*-algebra. It is a new invariant for the classification of C*-algebras. For certain C*-algebras, the interpolation property of the Cuntz semigroup can distinguish the Murray-von Neumann semigroup of equivalence classes of projections from the Cuntz semigroup. Driven by the program of the classification of C*-algebras, the Cuntz semigroup has been studied by many mathematicians. The simple C*-algebras of finite nuclear dimension have been proposed as a class of C*-algebras which can be classified by Elliott invariants, and the n-comparison property of the associated Cuntz semigroup is a necessary condition for which the C*-algebra has finite nuclear dimension. This subject aims at studying the interpolation property and the n-comparison property of the Cuntz semigroup via the extension of C*-algebras. Using this, we will investigate the represention of the Murray-von Neumann semigroup in the Cuntz semigroup and the nuclear dimension of the C*-algebra.

20世纪70年代，K-理论开始被广泛应用到C*-代数的分类研究之中。作为K-理论的推广，C*-代数的Cuntz半群是由C*-代数的矩阵代数中的正元等价类构成的正定且有序的Abelian半群，是新的分类不变量。Cuntz半群的插值性质是刻画Murray-von Neumann投影半群在Cuntz半群中具体表示的关键。鉴于C*-代数分类问题的推动，Cuntz半群已成为C*-代数理论的一个重要研究对象。具有有限顺从维数的单C*-代数都可以通过Elliott不变量进行分类，而Cuntz半群的“n-比较”性质是C*-代数具有有限顺从维数的一个必要条件。本项目拟从C*-代数的扩张角度研究Cuntz半群的插值性质和“n-比较”性质,进而考虑C*-代数的Murray-von Neumann投影半群在Cuntz半群中的具体表示和C*-代数的顺从维数。

Cuntz半群是C*-代数分类理论中的一个重要研究对象。要通过Cuntz半群分类C*-代数，就需要研究Cuntz半群分类C*-代数的存在性定理和唯一性定理。为此，我们研究了C*-代数之间保持 Cuntz比较关系的半线性映射。我们证明了标准C*-代数有限秩正元构成集合之间的半线性满射双边保持Cuntz比较关系当且仅当它双边保持Cuntz等价关系，当且仅当它保持有限秩正算子的秩。同时，我们还具体地给出了一类双边保持Cuntz等价关系的半线性满射。. C*-代数的Cuntz半群是Murray-von Neumann投影半群在正元上的推广，是K-理论的推广，是新的分类不变量。Perera和Toms的结果表明：Cuntz半群的插值性质是区分Murray-von Neumann投影半群和Cuntz半群的关键。我们刻画了交换C*-代数Cuntz半群的插值性质，给出了交换C*-代数Cuntz半群中元素具有插值性质的充要条件，这推广了Ara, Perera和Toms的结果。进而，我们研究了一类非交换C*-代数Cuntz半群的插值性质，给出了实秩为0、稳定秩为1、有σ单位元的C*-代数Cuntz半群的插值性质的刻画。这些关于Cuntz半群插值性质的结论，可以确定Murray-von Neumann投影半群在新分类不变量Cuntz半群中的像集，从而可以区分K0 群与Cuntz半群所包含的分类信息量。. 我们还研究了算子理论领域中的主不变子空间问题，证明了一维闭子空间对存在非平凡主不变子空间的充要条件是闭子空间对中的两个子空间相互垂直，多维闭子空间对（子空间对中的两个子空间至少有一个子空间的维数不小于2）一定存在非平凡主不变子空间。关于非平凡非退化主不变子空间的存在性问题，我们也证明了类似的结论。