半群，半群代数与量子仿射代数

Finite semigroups, matrix semigroups, semigroup algebras and quantum affine algebras are not only the important research contents of algebra, but also have been widely applied to branches of information science, theoretical computer science, symbolic dynamics, analysis, graph theory, cryptography, physics and so on. This program will do some researches on the finite basis problem for semigroups and semigroups varieties, semigroup algebras, representation of finite semigroups and the conjecture of Hernandez-Leclerc for quantum affine algebras, various finite basis problem for finite semigroups, matrix semigroups, and semigroup varieties will be studied; semigroup algebras and its representation for finite semigroups will be studied; quantum affine algebras, the representation for the reflection monoids and the inverse braid monoids will be explored by using the method of cluster algebras and quiver mutations. The research of this program will enrich the research contents of the theory of semigroups and quantum affine algebras, promote the applications of cluster algebras method, which has not only important theoretical significance, but also very good application prospects.

有限半群、矩阵半群、半群代数、量子仿射代数不仅是代数学的重要研究内容，而且在信息科学、理论计算机科学、符号动力学、分析、图论、密码学、物理学等学科具有广泛的应用背景。本项目围绕半群与半群簇的有限基问题、半群代数、有限半群的表示以及量子仿射代数的Hernandez-Leclerc猜想开展工作，研究有限半群、矩阵半群及半群簇的有限基问题，研究有限半群的半群代数及其表示，用丛代数及箭图突变的方法研究量子仿射代数以及反射幺半群与逆辫子幺半群等的表示。本项目的研究不仅丰富半群理论、量子仿射代数的研究内容、促进丛代数方法的应用，不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用前景。

半群(簇)与对合半群(簇)、半群代数及幺半群不仅是半群代数理论的重要研究内容，而且在理论计算机科学、信息科学、物理学等学科有重要的应用；半群代数与无穷小双代数及李代数有密切的关系；丛代数理论为研究量子仿射代数的有限维表示提供了新思路和新方法。本项目围绕半群(簇)与对合半群(簇)的有限基问题、半群代数及其与其它代数结构的关系、幺半群的表现及其半群代数、丛代数的幺半群范畴化开展研究工作。所得主要研究成果有：. 围绕半群(簇)的Tarski有限基问题，建立了若干非有限基/有限基半群(簇)与对合半群(簇)的充分条件，解决了一些重要(对合)半群类的有限基问题，发现了一个5阶非有限基的对合半群，完全或部分解决了本领域的一些公开问题；利用Cartan矩阵的理论来探讨三维半群代数的胞腔性，刻画了R-幂单半群、局部逆半群代数的半单及π-半单性；研究并刻画了全变换半群的一些子半群、对称逆半群的子半群以及矩阵极大逆半群的结构，解决了相关的计数问题；证明了带权无穷小双代数和DN-双代数可以诱导李代数；建立了DN-双代数与DN-结合杨巴方程的对应；在自由幺半群、根森林、装饰根森林、多项式代数及矩阵代数等半群代数上构造了一些双代数结构，如：(带权)无穷小双代数、DN-双代数、Hopf代数等；提出了匹配罗巴代数的概念，探究了它和多重叶型代数、多重预李代数之间的联系；利用装饰平面根树构造了自由叶型族代数，研究了自由交换罗巴族代数和自由非交换罗巴族代数。刻画了带冰冻点的箭图的突变类并用来研究Boolean反射幺半群的表现；引入矩形半标准Young表研究量子仿射代数的单模；建立了蛇模的q-特征满足的S-系统，并对蛇模证明了Hernandez-Leclerc猜想成立。. 本项目的研究将丰富半群及其半群代数和量子仿射代数的研究内容，不仅具有重要的理论意义，而且有重要的应用前景。