一类新的芬斯勒度量的曲率性质

General (α，β)-metrics, which are defined by a Riemannian metric α and a 1-form β, is a new kind of Finsler metrics proposed by the applicant in 2011 as a generalization of Randers metrics from the geometric point of view. The corresponding Minkowskian norms of these metrics have the most symmetric just next to Euclidean norms, and as a result, general (α，β)-metrics have great symmetry and computability. General (α，β)-metrics include not only all the (α，β)-metrics and the spherically symmetric Finsler metrics naturally, but also some m-th root metrics and some Bryant's metrics, which makes it possible for us to research some hot issues of Finsler geometry in an unified way. In this project, the characterization and construction of general (α，β)-metrics with nice curvature will be researched and the difference and relationship between general (α，β)-metrics and Riemannian metrics will be shown. Moreover, the applications of Finsler geometry in information geometry will be shown by studying the dual flatness of general (α，β)-metrics.A new class of metrical deformations, which is introducted by the applicant in the last project, will play an key role in this project.The intrinsic construction of general (α，β)-metrics and the unconventional research methods will be shown.

广义(α，β)度量是申请人在2011年引入的一类新的芬斯勒度量，它由一个黎曼度量α和一个1形式β所定义，是Randers度量在几何上的自然推广。这类度量所对应的Minkowski范数具有仅次于欧氏范数的对称性,这使得它具有良好的对称性和可计算性。广义(α，β)度量不仅包含了所有(α，β)度量和球对称芬斯勒度量，还包含了部分m根度量和Bryant度量，这使得我们可以用一种统一的方式来研究目前芬斯勒几何中的热点问题。本项目将着重研究具有良好曲率性质的广义(α，β)度量的刻画和构造，阐述它们与黎曼度量之间的区别和联系。同时，我们还将结合对偶平坦广义(α，β)度量的研究，阐述芬斯勒几何在信息几何中的应用。在上一个项目中申请人引入的度量形变工具将在本项目的研究中发挥关键的作用。我们将通过本项目展示广义(α，β)度量丰富的内在结构,及其非传统的研究方法。

在上一个国家自然科学基金项目中，负责人引入了一类被称为广义 (α,β) 度量的新的芬斯勒度量。本项目，我们着重研究广义 (α,β) 度量的若干几何性质，包括其黎曼曲率、对偶平坦性以及若干非黎曼曲率性质。在这几个方面，我们均取得了积极的进展。首先，我们给出了适当条件下常旗曲率广义 (α,β) 度量的等价刻画以及完全分类，该结果不仅把几类已知的著名芬斯勒度量（Randers 度量、Berwald 型度量、Bryant 型度量以及 Shen 型度量）有机地统一起来，而且还产生了许多新的常曲率芬斯勒度量。在这些新度量中，有两类度量显得尤为特殊，我们把它们分别称为奇异 Randers 度量以及奇异 Berwald 型度量。它们分别是著名的（正则） Randers 度量以及（正则） Berwald 型度量奇异化后的产物。本项目也对这两类度量的黎曼曲率性质做了一些初步的研究，相关的结果展示了这两类奇异度量与正则情形存在微妙而本质的区别。其次，我们给出了适当条件下对偶平坦广义 (α,β) 度量的等价刻画，由此我们可以构造无穷多新的对偶平坦芬斯勒度量（尤其是黎曼度量）。最后，我们对具有零 Douglas 曲率的广义 (α,β) 度量进行了深入的研究。我们给出了局部射影平坦 (α,β) 度量（这类度量具有零 Douglas 曲率以及零 Weyl 曲率）的完全分类结果，以及具有零 Douglas 曲率的 (α,β) 度量和奇异 Berwald 型度量的刻画。.广义 (α,β) 度量具有良好的可计算性，因此近些年它逐渐取代传统的 (α,β) 度量成为芬斯勒几何中新的研究热点。在本项目中，目前我们总共撰写 7 篇论文，其中 4 篇已经分别发表在 Math. Ann、 J. Math. Anal. Appl.、Diff. Geom. Appl. 和 Results Math. 上，另外三篇有待发表。我们认为，相关的结果对于几何学家进一步研究芬斯勒几何具有一定的启发和借鉴意义。