变指标函数空间若干问题的研究

变指标函数空间是在研究具有非标准局部增长条件的弹性力学与流体力学问题时提出的，由于其力学背景的重要性及作为经典函数空间的本质推广，变指标函数空间中的调和分析问题的研究受到广泛关注，变指标Lebesgue空间、Sobolev空间的研究已取得丰硕成果，变指标Triebel-Lizorkin空间及Herz空间的研究也有所涉及，在这些空间上重要算子的有界性也是人们关注的重要领域。本项目主要研究内容为：1.建立合适的变指标Hardy空间、变指标BMO空间理论。2.深入研究变指标Herz空间、变指标Triebel-Lizorkin空间、变指标A_p权理论。3.研究调和分析中的重要算子(如奇异积分算子、分数次积分算子、强奇异积分算子等及其交换子)在上述空间中的性质。4.抽象空间上的变指标函数空间。

函数空间理论及奇异积分及其相关算子在各类函数空间上的有界性一直是调和分析研究的核心问题，与数学、物理学中的许多分支，如多复变函数、偏微分方程以及量子力学等有着非常紧密的联系和重要的应用。本项目主要研究了变指标函数空间理论（主要是变指标Herz型Hardy空间理论）、奇异积分算子，多线性算子和多参数算子在若干函数空间的上的有界性、Littlewood—Paley算子及Marcinkiewicz积分及其交换子的端点估计等方面的问题，取得的主要研究成果如下：1、完整的建立了变指标Herz型Hardy空间理论（给出了该空间的合适定义、建立了几种等价刻画、得到了若干算子在该空间的有界性），2、乘积加权Hardy空间的原子分解；加权Hardy空间及其应用；旗Hardy空间的原子分解刻画； 上与两种不同伸缩相关联的加权Carleson测度空间；齐次群上旗奇异积分的加权 有界性；齐型空间上弱Hardy空间 的原子分解特征；与不同伸缩相关联的Calderon-Zygmund算子的复合算子在相应加权Triebel-Lizorkin和Besov空间上的有界性；建立了非齐次旗Triebel-Lizorkin空间和Besov空间的Littlewood-Paley刻画，极大函数刻画和差分刻画。3、得到Littlewood-Paley算子及Marcinkiewicz积分及其交换子的端点估计，主要涉及的算子为Littlewood-Paley算子及Marcinkiewicz积分及其参数型算子，涉及端点估计的空间为加权Morrey空间、加权弱型Hardy空间、加权Herz型Morrey空间等。上述研究成果完善和发展了已有的调和分析理论，也为偏微分方程、多复变函数等相关领域提供了相应的理论基础。