多参数变指标函数空间及其相关问题

The function space with variable exponent connected with many other fields in Mathematics and Physics, such as partial differential equations, elasticity theory and fluid mechanics and has many important applications. There are many achievements in this field in recent years. The main aim of our project are follows..1. The theory of multiparameter function space with variable exponent will be established, such as multiparameter Hardy space, multiparameter Besov space and Triebel-Lizorkin space with variable exponent. The definitions of these spaces will be given and the characterizations, such as atomic decomposition, will be established. .2. It is researched that the boundedness and compactness of the one-sided operator on the function space with variable exponent, such as one-sided Hardy-Littlewood maximal operator, one-sided singular integral operator and one-sided fractional integral operator..3. The function space with variable exponent on metric spaces will be studied.

变指标函数空间理论与数学、物理学中的许多分支如偏微分方程、弹性力学、流体力学等有着非常紧密的联系和重要的应用，近年来该领域已取得丰硕成果，本项目继续深入研究如下内容：（1）建立多参数变指标函数空间理论，主要包括Hardy空间、Besov空间和Triebel-Lizorkin空间，给出它们的合适定义，建立空间的原子分解等等价刻画。（2）研究单边算子（包括单边Hardy-Littlewood极大算子、单边奇异积分算子、单边分数次积分算子等）在变指标函数空间的有界性质与紧性，发展单边变指标Muckenhoupt A_p 权理论。（3）探索一般度量空间上的变指标函数空间理论。

变指标函数空间理论主要源于具有非标准增长条件的弹性力学、流体力学问题及其相关的偏微分方程等，近年来该领域已取得丰硕成果，本项目在如下方面进行了研究：（1）多参数变指标函数空间理论。（2）变指标函数空间中的算子性质。（3）其他调和分析中的重要问题。. 得到的主要结果包括：在变指标函数空间理论研究方面：给出了合适的变指标中心BMO空间的定义，利用Hardy算子及其共轭算子的有界性给出了该空间的刻画，并建立了相应的向量值不等式；研究了Schrodinger算子在变指标Lebesgue空间及与之相关的变指标Hardy空间的有界性；建立了具有变量核的Marcinkiewicz积分，一类广泛的次线性算子，Riesz位势及其交换子在具有三个变指标的齐次Herz空间的有界性，正面回答了前人提出的公开问题。在多参数奇异积分理论研究方面：深入研究了多参数Fourier乘子的Leibniz法则；具有Flag结构的奇异积分算子及其Hardy空间理论；利用具有Flag结构的多参数Soblev空间研究多参数Fourier乘子的加权有界性。在多线性奇异积分理论研究方面取得一些有意义的进展, 如得到了多线性奇异积分算子与多线性分数次积分积分算子在广义Morrey空间的有界性，建立了多线性强奇异积分算子的Sharp极大估计等。