分圆相关的一些问题及其应用研究

Cyclotomic problem is an ancient problem in geometry, which has developed and extended into many important subjects in number theory and algebraic combinatorics, such as theory of cyclotomic fields, theory of cyclotomic function fields, cyclotomic period, cyclotomic different set, cyclotomic number etc. These subjects have close relationship with many practical topics in coding theory and cryptography, such as, the weight distribution of irreducible cyclic code is essentially equivalent to the computation of the corresponding cyclotomic periods, and by cyclotomic method, some sequences can be constructed, whose linear complexity and autocorrelation values can be calculated with the relevant cyclotomic numbers, etc. In this project, exploiting the theory of cyclotomic fields and exponential sums, we will consider three problems below: (1) To calculate certain cyclotomic periods, and then to compute the weight distribution of relevant cyclic code. (2) To calculate certain cyclotomic numbers, and then to analyzed the linear complexity and autocorrelation values of relevant cyclotomic sequences. (3) To research and construct the normal basis of Galois rings with low multiplication complexity.

分圆问题是一个古老的几何问题，它在数论与代数组合中发展延伸为许多重要的课题，如：分圆域理论，分圆函数域理论，分圆周期，分圆差集，分圆数等；这些课题与编码密码学中很多应用问题有密切关系，如：不可约循环码的重量分布本质上相当于对应分圆周期的计算，分圆方法可用于构造的密码序列，其线性复杂度与自相关值可归结于相关分圆数的计算等。本项目中，我们以分圆域理论及指数和理论为主要的数学工具，研究以下三个方面的问题： ⑴ 计算若干分圆周期，进而求解相关循环码的重量分布； ⑵ 计算若干分圆数，进而分析相关分圆序列的线性复杂度和自相关值； ⑶ 研究和构作Galois环上低乘法复杂度的正规基。

分圆相关的问题, 如: 分圆域理论，分圆函数域理论，分圆周期，分圆差集，分圆数等, 是数论与代数组合中重要的课题. 这些课题与编码密码学中很多应用问题有密切关系，如：不可约循环码的重量分布本质上相当于对应分圆周期的计算，分圆方法可用于构造的密码序列，其线性复杂度与自相关值可归结于相关分圆数的计算等。.本项目以分圆域理论及指数和理论为主要的数学工具，研究了编码密码相关的四个问题：. 问题(i): 线性码的构造及其重量分布的问题研究. . 问题(ii): 布尔函数, 序列等密码学对象的构造, 及其特性分析. . 问题(iii): 有限域及Galois环正规基的研究. . 问题(iv): 指数和等分圆方法, 在量子通信与量子纠错中相关问题的研究. .在项目的支持下, 课题组一共完成并标注基金号的文章共24篇, 其中18篇SCI, 4篇国内核心, 2篇在投. 我们的研究结果推动相关领域的研究进展, 得到了同行密切关注.