时间分数阶扩散方程源项识别问题研究

In recent two decades, the fractional diffusion equation has played important roles in modelling anomalous diffusion process in fractal medium and complex heterogeneous medium. Motivated by practical problems, fractional diffusion equations have attracted wide attentions and the direct problems have been studied extensively.However, in some practical situations, part of boundary data, or initial data, or source term, or diffusion coefficients may not be given and we want to determine them by additional measured data which will yield to some fractional diffusion inverse problems.In this project,we will study the following inverse problems for fractional diffusion equations.Part I discusses simultaneous determination of the source functions depending on both space and time,which are the sum of two unknown components depending separately on space and time, with known weights depending on time and space,respectively. While Part II studies the inverse source problems for a multi-term time fractional diffusion equation.Based on the analysis of ill-posedness and conditional stability, we will provide and employ some regularization methods to deal with these problems, and carry out numerical simulation for a variety of examples. The aim of this part is to figure out some efficient methods with high accuracy and high stability for practical applications.

近二十年来随着分数阶扩散方程在描述分形介质和复杂多相介质的反常扩散现象中的广泛应用，相关的正问题已得到较为系统的研究。然而有时候因为部分边界上的数据不能直接得到或因为初值、源项、扩散系数未知，我们需要其他一些测量数据来求解这些未知量，这就产生了分数阶扩散方程反问题。本项目将对两类分数阶扩散方程反源问题展开研究。一是研究用非局部的测量数据同时反演出现在源项中的分别依赖于空间和时间变量的源项。二是研究多项时间分数阶扩散方程中的源项识别问题。通过对问题不适定性的分析和条件稳定性的建立, 有针对性地提出和应用一些正则化方法求解上述问题，并对各种算例进行数值模拟，找到一些可以在实际问题中应用的高效稳定的算法。

分数阶微分方程具有非局部的特点，因此可以更加准确的描述具有历史记忆性和全空间域相关性的复杂物理和力学过程。随着分数阶微分方程正问题相关理论的不断发展和完善，近年来越来越多的学者开始关注分数阶扩散方程相关反问题的理论和计算方法。由于分数阶偏微分方程本质上是微分积分方程，这给相关反问题的研究带来了新的困难。本项目主要研究了：利用部分边界上的测量数据反演多项时间分数阶扩散方程中的源项问题；利用部分边界或者内部部分观测点处的测量数据同时反演分数阶扩散（波）方程中的多个未知函数。我们针对不同的问题给出了唯一性、稳定性结果，并构造了稳定有效的反演算法。在完成上述工作的同时，我们还进行了项目以外的其他相关研究，主要有：针对一般的Banach空间中非静态的迭代Tikhonov正则化方法和迭代的高斯牛顿方法给出了一种启发式的参数选取方法，并在一定的假设条件下，给出了收敛性结果。总体来说，课题组采用了理论分析和数值模拟相结合的方法进行了研究，取得了比较理想的研究结果，完成了课题的研究任务，部分结果已发表在Inverse Problems等期刊上。