一类非线性抛物方程的第二临界指标研究

The study in Cauchy problem for nonlocal nonlinear parabolic equations has important practical and theoretical value, and which is the concerned topic in the field of partial differential equations. It is difficult to deal with the Cauchy problem for the existence of nonlocal term in equations. Thus, there are few results in this filed. In this project, we want to consider the critical exponent for such equations, including (i) the second critical exponent for second-order nonlocal nonlinear parabolic equation; (ii) the critical Fujita exponent and second critical exponent for higher-order nonlocal nonlinear parabolic equation. We plan to overcome the difficulties that are due to nonlocal term and higher-order diffusion via using priori estimates, interpolation inequality, contractive mapping, etc. We aim to improve the theoretic about nonlocal nonlinear parabolic equations, and supply theoretical basics for the research of chemistry, biology and mechanics, etc.

非局部非线性抛物方程的研究是偏微分方程领域备受关注的课题，具有重要的实际意义与理论价值。方程中的非局部项，对Cauchy问题的研究造成一定困难，因此其Cauchy问题的理论结果非常少。本项目拟研究这类方程的临界指标，包括：（1）二阶非局部非线性抛物方程的第二临界指标；（2）高阶非局部非线性抛物方程的Fujita临界指标及第二临界指标。拟通过先验估计、插值不等式、压缩不动点等方法克服非局部项及高阶扩散项带来的困难，以期进一步完善非局部非线性抛物方程临界指标的结果，为化学、生物、力学等学科的研究提供理论依据。

本项目研究的非局部非线性抛物方程是偏微分方程领域备受关注的课题，具有重要的实际意义与理论价值。研究内容主要包括以下两个方面：(1) 二阶抛物方程的第二临界指标。Galaktionov 等人研究了非局部非线性抛物方程的 Fujita 临界指标，发现非局部项对Fujita 临界指标具有一定影响。我们继续探讨了对于权函数的不同取法，第二临界指标所发生的变化。发现，当权函数可积时，第二临界指标和半线性抛物方程的第二临界指标相同；当权函数不可积时，第二临界指标发生了本质变化，与以往不同的是，这时的第二临界指标将与空间维数 n 有关。 (2) 高阶抛物方程组的第二临界指标。我们通过引进新的 Majorizing 核函数构造新的非局部扩散方程组，并结合压缩不动点以及先验估计等方法来处理模型中的高阶项。本项目的研究意义在于我们所考虑的问题是抛物方程中缺乏系统讨论的部分，且已知方法不再适用，需寻求新的研究思路。我们的研究成果将丰富偏微分方程的理论，并为解释某些物理现象提供重要的理论依据。