极小几何表面积的推广与应用

Geominimal surface ara is an important affine invariant in convex geometric analysis and integral geometry. Geominimal surface area and its Lp extensions introduced by Lutwak are the bridges connecting affine differential geometry, relative differential geometry and Minkowski geometry. We will consider the following problems in this research: 1.To study the continuity of Lp geominimal surface area by p-Petty body; 2.By using the steiner symmetrization、shadow system and other methods to study the functions in Orlicz space, combining the Fourier transforms、Radon transforms、Cosine transforms and convolutions transforms to research the Orlicz geominimal surface area, furthermore study its application in valuation theory；3.To study the “dual” floating body、illumination body、surface body，and study the geometric interpretation of Lp geominimal surface area by them. We will also research the affine isoperimetric inequalities for Lp geominnimal surface area, and the connection between geominnimal surface area and affine surface area. These results are important for the development to Brunn-Minkowski Theory.

极小几何表面积是凸几何分析与积分几何中重要的仿射不变量，它与Lutwak推广的Lp极小几何表面积把仿射微分几何、相对微分几何及Minkowski几何紧密联系在一起。本项目拟运用凸几何分析中Brunn-Minkowski理论主攻以下问题：1.应用p-Petty体研究Lp极小几何表面积的连续性；2.利用Steiner对称化、影子系统等方法研究Orlicz空间中的函数，结合分析中Fourier变换、Radon变换、余弦变换及卷积公式等研究Orlicz极小几何表面积，进而研究它在赋值理论中的应用；3.研究“对偶”的浮游体、照明体和表面体，并借助它们给出极小几何表面积的几何解释。我们还将研究关于极小几何表面积的等周不等式，同时研究极小几何表面积的应用，及其与仿射表面积的关系。这些结论对发展和完善凸几何分析中的Brunn-Minkowski理论都非常重要，在理论和应用上具有重要的意义。

研究发现，许多涉及到仿射表面积的等周不等式的等号成立之条件等问题还很难解决，进而在应用这些等周不等式时出现了障碍。由此，20世纪70年代，Petty引入了另一个仿射不变量——极小几何表面积(Geominimal surface area)，并建立了一些更强的仿射等周不等式，大大丰富和发展了凸几何的Brunn-Minkowski理论。. 本项目中，我们通过研究极小几何表面积的相关性质，得到了与之联系比较紧密的研究成果。主要涉及到以下几个方面：第一、极小几何表面积的连续性。研究了关于容量测度的Polar-Minkowski问题、混合p-容量的极值问题以及涉及到log-凹函数的极小几何表面积；第二、极小几何表面积的Orlicz推广。引入了Orlicz-Petty体，并证明了它的存在性和唯一性，进一步地证明了Orlicz极小几何表面积的连续性定理和Orlicz-Petty体的连续性定理；第三、极小几何表面积的几何解释。建立了对偶变分公式并给出了对偶加法的几何解释，利用对偶变分公式和Lagrange数乘法证明了对偶Minkowski问题；第四、在几何不等式方面，得到的一些反向Bonnesen型不等式并加强了Bottema在欧氏平面中的结果、研究了Wills猜想的加强形式以及利用内平行体和混合体积的方法建立了一些关于包含测度的等周型不等式。