Boltzmann方程的初边值问题研究

Although there is a huge of achievemnets on the Cauchy problem for the kinetic equations and related models, much less result is known regarding the initial boundary value problem for the Boltzmann equation, for instance, the global existence, large time behaivors and regularity of the solutions of the Boltzmann equation with soft potential on bounded domain as well as the qualitative properties of the solutions of the Boltzmann equaiton with Maxwell boundary condition are still open, this project is devoted to the study of the above problems. The investigation to these problems is not only a challenge to the mathematiccal theory but also provides us a deep recognization to the dilute gases from the viewpoint of physics.

近几年以来关于动理学方程的Cauchy问题的数学理论研究已经取得了许多重要的进展，然而对其在有界区域上的研究却不够成熟，如在有界区域上软势情形Boltzmann方程的解的存在性、大时间性态、正则性，以及Boltzmann方程Maxwell边值解的正则性问题等还未解决，本项目将致力于上述问题的研究。此类问题的研究不仅具有数学理论进展上的挑战性，而且是从统计物理的角度对稀薄气体动力学行为的一种深刻的认识。

对动理学方程的初边值问题的研究是当前国内外研究偏微分方程的一个热点。本项目中，我们通过引入一类新的低正则的、各向异性的函数空间，构建了非截断Boltzmann方程和Landau方程带inflow边界条件下的整体存在性、大时间性态、和正则性传播。我们发展了一种新的非线性能量方法，这种方法为我们进一步研究一般有界区域上的动理学方程提供了新的思路。此外，我们还研究了相对论的Vlasov-Poisson-Fokker-Planck和Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck方程组的整体适定性和最优时间衰减率以及双曲空间上的Landau-Lifshitz-Gilbert方程解的全局存在性与自相似爆破解。