随机不可压缩Navier-Stokes方程的集合化算法研究

The Navier-Stokes equation reflects the basic mechanics law of viscous fluid flow and is of great significance in fluid mechanics. The study of its numerical algorithm has an important role in theoretical analysis and engineering application. In this program, we consider the non-stationary Navier-Stokes equations with random viscosity. We first develop a Monte Carlo ensemble algorithm for non-stationary Navier-Stokes equations with random coefficients. Then we pursue in the same direction and develop a new multilevel Monte Carlo ensemble method for solving random non-stationary Navier-Stokes equations. Last, we propose to extend the ensemble idea to Navier-Stokes projection methods for improving their efficiency on simulating a group of flow problems, and then extend the method to stochastic problems. With the introduction of an ensemble average, the proposed algorithms lead to a single discrete system with multiple right hand sides for a group of realizations, which could be easily handled by a block iterative solver and, thus, improves the overall computational efficiency.

Navier-Stokes方程反映了粘性流体流动的基本力学规律，在流体力学中具有十分重要的意义，其数值算法研究具有重要理论意义和工程应用价值。本项目以具有随机粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程为研究对象，结合基于集合化的时间步进法，首先对具有随机粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程提出基于集合化的蒙特卡罗方法，接着在此基础上建立基于集合化的多层蒙特卡罗方法，最后将基于集合化的时间步进法推广到投影方法，用于求解一组具有不同初始条件、边界条件、体力和粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程，并进一步用于求解具有随机粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程。上述所建立的方法，通过集合化平均的引进，将每个时间层的离散系统化为具有同一系数矩阵和多个右侧向量的线性系统，可以自然地与块迭代算法相结合，达到高效求解的目的。

不可压缩 Navier-Stokes方程是流体力学中具有代表性的方程，而流体力学在我国现代国防以及国民生产中占有相当重要的地位，因此不可压缩 Navier-Stokes方程的数值算法研究具有重要理论意义和工程应用价值。项目系统研究了具有随机粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程基于集合化的蒙特卡罗方法，建立了基于集合化的单层蒙特卡罗方法以及多层蒙特卡罗方法，并对带随机系数的对流扩散方程提出了高效迭代算法的一般框架。项目系统研究了将集合化算法与投影方法相结合，用于求解一组具有不同初始条件、边界条件、体力和粘性系数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程，投影方法将方程解耦避免求解鞍点问题，从而每个时间层上对速度和压力只需要求解一系列非耦合的椭圆方程，因此基于集合化的投影方法可以达到低存储、高效率的目的。通过本项目的研究，为带随机参数的非定常不可压缩Navier-Stokes方程的求解提供了一种高效、稳定的求解算法。