Bombieri-Vinogradov 型定理及其应用

Distribution of primes is one of the central topics in analytic number theory. The breakthrough of Zhang Yitang on twin primes and Sarnak's Conjecture on primes obits provide some new ideas and methods for the study of distribution of primes. In this project, we will research on the following problems: 1. Theorems of Bombieri-Vinogradov type for exponential sums over primes in short intervals and applications; 2. Theorems of Bombieri-Vinogradov type for exponential sums over Beatty and Pyateckii-Šapiro primes and applications.

素数分布是解析数论研究的核心内容之一. 张益唐关于孪生素数的突破性进展和 Sarnak 等数学家提出的关于素数分布的猜想为这一课题的研究注入了新的活力. 在该项目中, 申请人拟研究以下两部分内容: 1. 关于小区间上的素变数指数和的Bombieri-Vinogradov 型定理及其应用; 2. 关于 Beatty 数和 Pyateckii-Šapiro 数的素变数指数和的 Bombieri-Vinogradov 型定理及其应用.

在项目执行期间，项目组以素变数指数和为研究对象，研究了以下几方面内容：将长区间上的非线性素变数指数和的Bombieri-型定理推广到了小区间上，分别得到了区间长度最优和均值求和长度最优的两个结果；通过改进双重非线性指数和估计, 得到了小区间上的三次素变数指数和的新上界，并将其应用于几乎相等的三次堆垒素数问题例外集问题的研究中；还考虑了Pyateckiĭ-Šapiro数相关的素变数指数和的Bombieri-型问题。. 这些研究结果完成了项目申请中所涉及的主题内容，丰富了素数分布的相关内容。项目执行期间，项目组已在发表SCI论文1篇，在线发表SCI论文1篇。