奇异线性方程组和具有特定结构的非线性问题的研究与应用

The problems of large, sparse, singular linear equations and nonlinear questions with special structure arise in a number of scientific computing and engineering applications, such as computational fluid dynamics, control system, neural network, nonlinear wave, quantum mechanics, and so on. Due to the instability and the uniqueness solution of the singular linear equations, it has pratical difficulties while solving the problems. At the same time, because of the complexity of the special structured nonlinear questions, the theoretical analysis and numerical algorithms need further research. Therefore, they have become the emerging issues of numerical algebra and nonlinear analysis in recent years. This project is proposed to solve the following two important questions:(1)The efficient iterative algorithms of solving large, sparse, singular linear equations will be given, and the effective preconditioner will also be given. Moreover, we will give the optimal iterative parameters for several multi-parameter constant iterative algorithms.(2)For the problems of solving special structured nonlinear equations and nonlinear eigenvalues, we will establish the solvability conditions and convergent theory system, and give the high precision and fast algorithms of solving nonlinear eigenvalues.This project will be more systematic and indepth studied about the solving theory and algorithm analysis of the above two types of problems.And it will provided scientific basis for the related practical scientific computing problems.

大型稀疏奇异线性方程组和具有特殊结构的非线性问题，在计算流体力学、控制系统、神经网络、非线性波动、量子力学等领域中存在着广泛应用。由于奇异线性方程组的不稳定性、解的不唯一性，使得求解此问题时面临实际困难；同时由于特殊结构非线性问题的复杂性，其理论分析与数值算法有待进一步研究。因此成为近年来数值代数方向和非线性分析的新兴课题。 本项目拟解决如下两个重要问题：（1）给出求解大型稀疏奇异线性方程组的高效迭代算法及有效的奇异预条件子，同时针对几类多参数定常迭代算法给出最优迭代参数。（2）针对具有特殊结构的非线性方程组和非线性特征值的数值求解问题，建立非线性方程的可解性条件和收敛理论体系，给出非线性特征值的高精度快速求解算法。本项目将更加系统和深入的研究上述两类问题的求解理论与算法分析，并为解决相关实际科学计算问题提供科学依据。

在该项目执行期间，我们主要做了以下几个方面的研究工作：. 1．对于奇异线性方程组方面的研究，我们提出了针对奇异鞍点问题广义预处理含参数的不精确 Uzawa算法、广义修正HSS算法以及正则化HSS算法，对于上述几个算法，我们对其进行半收敛性分析，得到迭代半收敛的条件。此外，作为对奇异鞍点问题的推广，我们还对广义鞍点问题的预条件及收敛性进行了算法改进和理论分析，分析了基于矩阵分裂的预条件的谱的性质并提出了加速SOR-Like方法求解广义鞍点问题的算法。. 2．对于非线性问题，我们主要做了两个方面的工作。对于复对称Jacobian矩阵的非线性系统的求解，我们分别提出了预条件修正的Newton-MHSS与修正的Newton-DPMHSS方法在Holder连续条件下的局部收敛性，以及Newton-HSS在满足L平均中Lipschitz条件下的局部收敛性。此外，对于Yang-Baxter-like矩阵方程AXA = XAX，我们分别考虑了当A是指数为3的幂零矩阵、秩为2时矩阵的交换解，以及基于投影考虑该类方程的交换解。. 3．拓展研究了矩阵逆特征值问题，主要研究了谱约束的矩阵逆特征值问题、模型修正中的逆特征值问题和伪Jacobi矩阵的逆特征值问题。 在给定部分谱信息的情况下，我们使用了广义逆、广义奇异值分解、典型相关分解、矩阵微积分和Lanczos方法分别构造了有正规k+1幂等子的广义自反矩阵、 广义中心埃尔米特矩阵、（R,S）对称矩阵、多水平alpha循环矩阵和伪Jacobi矩阵。给出了这些逆特征值问题有解的充要条件和解的最佳逼近。. 以上研究成果可以广泛的应用于流体力学、图像处理和结构动力模型更新。