Beta展式中若干问题的研究

Beta expansions got widespread interest in many mathematical branches, such as dynamical systems, fractal geometry, number theory, combinatorics, probability theory and so on. Moreover, beta expansions have been applied to information science and theoretical comupter science. The aim of this project is to study the following three classes of problems in beta expansions: (1) unique beta expansions, (2) finite beta expansions, (3) countably infinite beta expansions. We will consider the Hausdorff dimensions and topological structures of the related sets in these problems by combining the analytical metheod in fractal geometry and the techniques in beta expansions. As for the unique beta expansions, we will give the formulae for the Hausdorff dimensions of the sets having unique beta expansions. As for the finite and the countably infinite beta expansions, we will analyze the topological structures of the corresponding sets and calculate their Hausdorff dimensions. Solving the problems in this project is relevant to the study of beta expansions.

Beta 展式在动力系统、分形几何、数论、组合数学、概率论等数学分支中引起广泛的兴趣。除此之外，beta展式还被应用到信息科学和理论计算机科学等领域中。本项目主要考虑beta展式研究中三个方面的问题：（1）唯一beta展式，（2）有限beta展式，（3）可数无穷beta展式。我们将结合分形几何中的分析方法与beta展式中的技巧，探讨这三类beta展式中相应集合的分形维数及拓扑结构。关于唯一beta展式，我们将给出具有唯一beta展式集合分形维数的计算公式。关于有限及可数无穷beta展式，我们将分析相应集合的拓扑结构，并计算其分形维数。解决本项目中的这些问题，对beta展式的研究有着十分重要的意义。

Beta展式的研究在动力系统、分形几何、数论等数学分支中引起广泛的兴趣，并且被应用到信息科学和理论计算机等领域中。本项目主要研究beta展式三方面的内容：（1）唯一beta展式。在这个方向上我们给出了唯一beta展式的分形维数公式，并证明了其拓扑熵函数是一个魔鬼阶梯。进一步地，我们刻画并分析了该魔鬼阶梯的分支点集，以及相应的动力系统行为。部分结果发表在Adv. Math.以及Trans. Amer. Math. Soc.上。（2）有限和可数无穷beta展式。在这方面我们对具有两个展开的基以及可数无穷的基做了一些探讨，回答了这方面的几个开问题。部分工作发表在J. Number. Theory上。（3）与beta展式相关的研究。我们考虑了一类Fat康托集的平移交，以及与simply normal beta 展式相关的临界值等问题。部分工作发表在Nonlinearity上。本项目的研究，对进一步研究具有重叠结构的自相似集、Bernoulli卷积、开动力系统以及其他类型的计数系统都有十分重要的意义。