连分数和β-展式中的极限定理与维数研究

The representation of real numbers is a fundamental and important topic in the theory of real numbers. There are two classic representations of real numbers: continued fractions and beta expansions. Continued fractions plays an important role in Diophantine approximation and it also has close connections with fractal geometry, dynamical system, ergodic theory and many other branches of mathematics. Beta expansions is an important generalization of the classical representation of real numbers under the integer base, but there is an essential difference between the two of them. For instance, beta dynamic system is not a Markov system, which leads to the failure to obtain the exact estimations on the length of cylinders. This is the main difficulty in the study of beta expansions. This proposal is concerned with the limit theorems and fractal dimension of some sets in continued fractions and beta expansions and it involves the following aspects: 1. consider the Hausdorff dimension of the set related to the upper and lower Lévy constants; 2. study the metric and fractal properties related to the length of cylinders, and apply them to study the problem on approximation orders of real numbers by beta expansions and the asymptotic behaviors of real numbers under beta transformation; 3. discuss the relation between continued fractions and beta expansions. All these problems are very hot and important in the fields of metric number theory and fractal geometry, so we need to combine the ideas and methods from dynamic system and ergodic theory, probability theory and fractal geometry to solve them.

实数的表示是实数理论中一个基本且重要的研究课题。连分数和β-展式是两种经典的实数表示方式。连分数在Diophantine逼近中起着重要作用，它与分形几何、动力系统与遍历论等其他数学分支有着密切联系。β-展式是传统整数进制表示的重要推广，但它与实数的整数进制表示有着本质的区别。如β-展式不再具有Markov性，导致无法精确地估计其柱集长度，这是研究β-展式相关问题的困难所在。本项目研究连分数和β-展式中的极限定理和相关集合的分形维数，主要探讨以下问题：1、研究与实数的上下Lévy常数相关集合的Hausdorff维数；2、研究与β-展式柱集长度相关的度量性质和分形性质，并利用该结果来研究β-展式的逼近阶问题以及β-变换下实数轨道的渐近行为；3、讨论连分数和β-展式之间的关系。这些问题是度量数论和分形几何研究中的热点和重要问题，需要综合运用动力系统与遍历论、概率论、分形几何的思想和方法来解决。

实数的表示是实数理论中一个重要且热门的研究课题。连分数和β-展式是实数的两种经典表示方式，在研究数的算术和几何性质方面起着重要作用。连分数是研究Diophantine逼近的有利工具，它与分形几何、动力系统、概率论等其他数学分支有着密切联系。β-展式是传统整数进制表示的重要推广，其对应的动力系统具有比整数进制表示对应的系统更丰富复杂的动力学性质。如β-展式不再是Markov系统，导致无法精确估计其柱集长度，这是研究β-展式及相关问题的困难所在。本项目研究连分数和β-展式中的极限定理和相关集合的分形维数，主要探讨以下问题：（1）连分数中与（上、下）Lévy常数相关的度量和分形性质；（2）β-展式柱集长度的估计及其在逼近阶问题、β-变换下实数轨道的渐近行为等问题中的应用；（3）讨论实数的连分数和β-展式之间的关系。这些问题是度量数论和分形几何研究中的热点内容，需要综合运用分形几何、动力系统、概率论的思想和方法来解决。.本项目执行期间，项目负责人共发表8篇学术论文，得到如下研究成果:（1）给出了上、下Lévy常数水平集是剩余集的充分必要条件；得到了Lévy常数的精确逼近速度并将该结果推广到具有无穷多个分支的扩张Markov区间映射。此外，我们还研究了连分数部分商序列及其最大值的增长速度问题。（2）给出了β-展式柱集长度的一种估计并研究了相关量的度量和分形性质；该结果被应用得到β-展式的逼近阶、β-变换下实数轨道的渐近行为、run-length的性质等。（3）通过比较连分数和β-展式对应动力系统熵的大小，讨论了连分数和β-展式在逼近实数的有效性。上述研究成果发表在Mathematische Zeitschrift、Nonlinearity、Acta Arithmetica、Ramanujan Journal、Monatshefte für Mathematik、Acta Mathematica Scientia等期刊，并得到关注引用，完成了预期的研究任务。