考虑非均匀本征应变的多铁材料非椭圆夹杂Eshelby问题研究

Eshelby's inclusion problem is a key issue in composite mechanics, fracture mechanics, etc. The Eshelby's problem of non-ellipsoidal/elliptical inclusions involving non-uniform eigenstrains stands much closer to physical reality, and underlies the estimation of effective properties of composites including non-ellipsoidal/elliptical particles. In this project, considering arbitrary polynomial eigenstrains, we plan to study the Eshelby's problem of two typical non-elliptical inclusions, i.e., arbitrary polygonal ones and those characterized by Laurent polynomials, in a two-dimensional plane formed by a multiferroic material, which is widely applied in high-tech fields. By virtue of the Stroh formulism, we expect to derive the closed-form solutions of the induced physical fields (the induced elastic strain field, the induced electric field and the induced magnetic field) in full-, half-, bimaterial planes, as well as in a closed planar domain. The finite element analysis on the above problems based on ANSYS platform is also planned to carried out so as to verify the analytical solutions. Finally, on the basis of the derived analytical solutions, we plan to carry out numerical calculations and systematically analyze the effects of the non-uniformity of the prescribed eigenstrains, the microstructures of the inclusion (the shape, the volume and the orientation), the boundary conditions of the half-plane and the closed planar domain, and the property distinctions in the bimaterial problem. The expectant outcomes will be helpful to the multiferroic non-elliptical inhomogeneity problem, the estimation of effective properties of multiferroic composites and the performance optimization of multiferroic devices.

Eshelby问题在复合材料力学、断裂力学中具有广泛的应用。考虑非均匀本征应变的非椭球/圆夹杂Eshelby问题具有更真实的物理背景，也是估计含非椭球/圆颗粒复合材料有效性质的重要基础。本项目拟以在高技术领域广泛应用的多铁材料为背景，考虑任意多项式形式的本征应变，就两类典型的非椭圆夹杂（任意多边形夹杂和洛朗多项式型光滑曲线夹杂）的Eshelby问题开展研究。在广义Stroh理论框架下，建立相应的边界积分公式，导出全平面、双材料/半平面和有限域Eshelby问题的严格解析解，并用基于ANSYS软件得到的有限元解进行验证，在此基础上通过数值算例系统地探讨本征应变的不均匀性、夹杂的微结构参数（大小、形状、取向）、半平面/有限域边界条件及双材料性质差异对扰动物理场的影响。本项目的研究成果将为多铁材料非椭球/圆异质问题的理论求解、多铁复合材料有效性质的估计和多铁材料器件的设计等提供重要的理论基础。

Eshelby（1957, 1959）求解了各向同性材料椭球夹杂内孪晶相变引起的内、外扰动弹性场，并创造性地提出了等效夹杂理论来处理椭球异质颗粒的远场加载问题，此后研究者基于等效夹杂理论发展了Mori-Tanaka方法、IDD方法等众多细观力学估计模型，用于研究基体-颗粒型复合材料等各种非均匀材料的宏观有效性质。Mura（1987）提出了本征应变的概念，用以描述热膨胀等一切非弹性应变，此后本征应变被广泛地用来模拟位错等固体材料的各种细观缺陷。考虑磁、电、弹多物理场耦合的各向异性多铁材料由于其独特的物理、力学性质和潜在应用价值，近些年来受到广泛关注，以此为背景的Eshelby夹杂问题也成为研究热点。非均匀本征物理场（应变、电场、磁场等）是对众多真实物理过程和工程应用场景的更确切描述，近年来引起了国内外众多学者的兴趣，而代数多项式由于普遍适用性和数学处理的便利性，常作为描述各类复杂非均匀本征物理场的首选。非椭球/圆夹杂Eshelby问题的研究同样极具吸引力，因为真实的夹杂形状往往不是椭球/圆，而且基于椭圆夹杂Eshelby张量的多种细观力学估计模型用于包含非椭圆颗粒的问题时会带来即使工程上也不可接受的偏差（Zou， 2010）。本项目旨在以各向异性多铁材料为背景，考虑任意多项式形式的广义本征应变，研究多边形和洛朗多项式型光滑曲线两类典型的非椭圆夹杂的Eshelby问题，以得到问题的解析解为首要目标，因此极具挑战性。项目开展以来的主要工作有：利用从夹杂外部到单位圆外部的保形映射技术和Faber多项式的特殊性质，显示得到了洛朗多项式型光滑曲线夹杂的内、外域物理场的扰动解（尚未得到完全验证）；基于Kolosov-Muskhelishvili (K-M)双势函数表示理论，将任意多项式单项引起的扰动弹性场求解归结为本征函数沿夹杂边界的积分，同时利用叠加原理，统一处理了力与位移边界，导出了半平面问题辅助解的边界积分，对于任意多边形夹杂，显示得到了全平面和半平面扰动场的解析解。项目目前取得的成果虽然有限，但其中积累的思想、方法和技巧都构成后续研究的基础，必将研究推向深入。