非局部抛物型偏微分方程的能控性

This proposal addresses a study of the null controllability and approximate controllability for a class of parabolic equations with nonlocal terms, where the control acts on the boundary or in an open subset of the whole domain. It was proved that the parabolic equation with nonlocal terms is not null controllable. In this research, we will give a characterization of the set of nontrivial initial values, which can be driven to zero. On the other hand, we will study the approximate controllability of parabolic equations with nonlocal terms. Unlike the classical parabolic equation, the approximate controllability of parabolic equations with nonlocal terms means that the state and the nonlocal terms are approximately controllable at final time. This is sufficient to guarantee that the state of the controlled system can be infinitely close to the given target after final time. . In recent years, many researchers focus on the controllability of parabolic equations with nonlocal terms. This is due to the very fact that realistic models in many practice should contain suitable nonlocal terms. Therefore, the results of this research can be applied to physical problems in many fields such as heat conduction, population dynamics and nuclear reactors. Moreover, the control theory of distributed parameter systems is made more abundant in this research.

本项目主要研究非局部抛物型偏微分方程支配控制系统的零能控性和近似能控性，其中，控制实施在空间的边界或内部。一方面，已有结果表明上述系统不是零能控的，所以我们从实际问题的需要出发，将基于方程的特性刻画一类能够实现零能控的初始条件；另一方面，我们将研究非局部抛物型方程的近似能控性。与经典抛物型方程的近似能控性不同，这方面工作是讨论非局部抛物型方程的状态与非局部项在终端时刻分别和预先给定的目标无限接近。这样做的目的是使非局部抛物型方程在终端时刻后的任意状态都可以无限接近于预先给定的目标。. 因为非局部抛物型偏微分方程更能精确地反映实际的物理背景，所以其能控性问题倍受人们的关注。对于此类问题的讨论不仅能够丰富分布参数系统的控制理论，而且可以对处理某些实际问题，如热交换、人口动力学、原子反应堆等问题提供必要的理论依据与指导。

非局部抛物型偏微分方程是一类积分微分方程，描述含有关于时间的非局部反应项的一类扩散现象。这类模型在热交换、人口动力学、原子反应堆等领域有着广泛的应用，因此其能控性问题逐渐引起广大学者的关注。. 本项目主要研究非局部抛物型偏微分方程支配控制系统的零能控性和近似能控性，其中控制实施在空间的边界或内部。主要结果有：. 1. 得到核函数是常数情形的非局部抛物型方程解的适定性以及稳定性。为了克服核函数不可积这一困难，研究过程中主要采用谱分析的方法。这种方法后续可以用来进一步解决数值计算等方面的问题； . 2. 利用对偶理论得到核函数是指数情形(包含常数情形)的非局部抛物型方程的非局部型(有限)近似能控性。与经典抛物型方程的近似能控性不同，非局部型近似能控性不仅控制系统的终端状态与目标充分接近，而且要求在终端时刻的非局部项也与给定的另一目标充分接近。引入新定义的的目的是使非局部抛物型方程在终端时刻后的状态可以任意接近预先给定的目标。这样比较符合实际问题的需要，同时这一概念还可以用于讨论具有非局部项的双曲型偏微分方程、抽象方程和更一般的积分微分方程等；. 3. 证明了主部算子弱退化时的受控系统不零能控，即存在一类初值使得对于任意的控制函数，系统相应的终端时刻都达不到目标零。与之相对应的是利用矩量方法和积分方程解的表达式，刻画出一类能够实现零能控的初始条件；. 4. 作为能控性问题的延伸，利用松弛方法得到一类不适定半线性椭圆方程所支配最优控制问题解的存在性。. 综上所述，对于非局部抛物型偏微分方程支配控制系统的能控性问题的讨论不仅能够丰富分布参数系统的控制理论，而且可以对处理某些实际问题，例如Volterra人口动力学模型，提供必要的理论依据与指导。