非线性偏微分方程的非线性微分约束

Many symmetry methods and related methods can be reformulated by using the technicalities of differential constraints method. By the method of differential constraints, exact solutions of some nonlinear partial differential equations (PDEs) were constructed, and some nonlinear PDEs were reduced to finite-dimensional dynamics. On the basis of the research of invariant subspaces method, this project is aimed at constructing nonlinear differential constraints of nonlinear PDEs. Firstly, definitions of various classes of nonlinear diffential constraints of PDEs will be presented. As is well known, invariant subspaces admitted by nonlinear PDEs are defined by their compatible linear differential constraints. Secondly, theory of nonlinear differential constraints will be studied. Thirdly, nonlinear differential constraints compatible with some nonlinear PDEs will be given. As a consequence, solutions of corresponding PDEs are constructed, or the corresponding PDEs are reduced to finite-dimensional dynamics. Then behaviors of the resulting solutions will be discussed. Finally, combining the method of separation of variables and differential constraints, nonlinear differential constraints compatible with multi-dimensional partial differential equations and related problems will be studied.

不变子空间方法、分离变量方法和广义条件对称方法都可以用微分约束方法进行解释。通过该方法可以约化大量非线性偏微分方程或构造它们的解。本项目将在不变子空间方法的研究基础上，构建非线性偏微分方程的非线微分约束：(1)偏微分方程允许的不变子空间可以看作是由其线性微分约束定义的,在此基础上提出偏微分方程的各种非线性微分约束；(2)研究非线性偏微分方程的非线性微分约束问题中的理论问题；(3)研究与一些具体的非线性偏微分方程相容的非线性微分约束，从而得到它们的解或将它们约化为有限维动力系统，并研究解的相关性质；(4)结合分离变量方法,研究与高维偏微分方程相容的非线性微分约束及其相关问题。

本项目旨在不变子空间方法的研究基础上，研究非线性偏微分方程的非线性微分约束。主要研究以下内容：(1) 合理地提出偏微分方程各种可能的非线性微分约束的定义，研究非线性偏微分方程的各种非线性微分约束问题中的理论问题；(2) 研究一些具体的非线性偏微分方程，尤其是一些高阶非线性偏微分方程的非线性微分约束；(3) 结合分离变量方法，研究高维偏微分方程的非线性微分约束及其相关问题。.在本项目执行期间，项目组开展了下列研究，并取得相应的一些进展：(1) 结合对称群和不变子空间方法，讨论了获得一般的二维和更高维非线性微分算子不变子空间的一系列方法。例如，利用高维情形的条件Lie-Backlund条件对称、变量变换，以及李点对称和一维不变子空间方法相结合的做法，为获得高维非线性微分算子的不变子空间提供了可操作的方案。与此同时，在这一研究过程中还获得了大量具体的高维非线性微分算子的不变子空间，在后期研究中这些结果都可应用于构造相应的高维非线性演化方程的精确解； (2) 在不变子空间方法的理论中， Galaktionov和Svirshchevskii利用等价变换给出了允许最高维不变子空间的一阶非线性微分算子的刻画。由于二阶非线性微分算子的复杂性，允许最高维不变子空间的二阶非线性微分算子还没有得到完全刻画。在本项目的研究中，刻画了一类变系数二阶二次非线性微分算子的不变子空间，并将这些结果应用于构造大量变系数非线性演化方程的精确解。这些结果今后还可以用于更多的非线性演化方程精确解的构造中； (3) 结合变量变换和不变子空间方法，构造了大量具体方程的精确解，并讨论了这些解的相关性质，重点讨论了相关的爆破性质。例如，一般非齐次非线性扩散方程、可压缩欧拉方程、Chaplygin气体方程，以及几何流方程等等。需要指出的是，在上述研究中，都是结合变量变换和不变子空间方法构造非线性演化方程的精确解，其实这也是刻画了这些方程某种相应的非线性微分约束。