不变子空间方法发展的研究

不变子空间方法是与广义条件对称、微分约束方法、线性代数以及动力系统相关的研究非线性偏微分方程的方法，通过该方法可以研究非线性偏微分方程的特解，并将一些特定类型的非线性方程约化为有限维动力系统。本项目试图将不变子空间方法进一步发展，并应用于研究更广范围的非线性偏微分方程：(1)利用已有的不变子空间方法研究较为复杂的(向量)微分算子的分类，从而得到它们对应的演化方程(组)的分类和精确解；(2)从不变子空间方法出发，利用它与广义条件对称和微分约束方法的关系，发展这些方法，从而讨论偏微分方程不同类型的广义条件对称及其相关分类和求解问题；(3)结合分离变量方法，将不变子空间方法在高维情形中发展，从而研究高维方程的分类和求解问题；(4)方法发展后，讨论与其相关的理论问题。例如，方程允许的不变子空间的最高维数问题和方程允许不同类型广义条件对称的最高阶数等。

在本项目中, 我们做了以下方面的工作。首先，利用不变子空间方法，考虑了带源项的径向形式的非线性扩散方程的高阶非线性条件Lie-Bäcklund对称，并相应地构造了方程相应的解。其次，研究了一般的四阶线性演化方程群分类问题，并获此问题的全部解。我们证明了允许二维、三维和四维变换代数的这类方程分别有三个、六个和一个非等价类。再次，利用不变子空间方法，构造了一族三阶非线性色散波方程的精确解。最后，考虑了三阶非线性微分算子允许的最大维不变子空间，并构造了相应方程的解。