扩散方程中的几类问题

The PI proposes to carry out research in the following three directions: diffusion equations on domains containing thin layers, global bifurcation and its application on pattern formation, and eigenvalue problems. ..The first part of the project is motivated by applications such as turbine engine blades protected by thermal barrier coatings and effects of a road in a nature reserve on the spreading of species; the part aims to establish a complete theory for diffusion equations on domains, with a part of which being thin and having a sharp jump of the diffusion rate across the interface; to provide simple effective models to overcome numerical, as well as analytical difficulties resulting from the multiple scales in the spatial region and in physical parameters; to advertise to the engineering community the method of effective boundary conditions. ..The second part of the project is meant to provide a user-friendly global bifurcation tool at the abstract level, and by doing case studies, to improve the method of combining global bifurcation theory with the compactness theorems to prove the existence of patterns with striking features, providing to researchers an alternative outside the range of other well-developed methods. ..In the third part, the characterization of the principal eigenvalue of abstract positive and compact operators will be studied, providing a tool to study the principal eigenvalues of elliptic and periodic-parabolic operators.; the shape optimization problem for the case of nonlocal effective boundary conditions will also be studied.

本项目拟开展如下三个方面的研究：带有薄层区域上的扩散方程的实效边条件，大范围分支理论及其在模式形成中的应用，特征值问题。..第一个方面问题的物理背景包括受热障薄层保护的涡轮机叶片，路对自然保护区物种传播的影响等；目标是建立一个有关扩散方程在带有薄层区域上的比较完整的理论， 提供简便的实效模型来克服空间和物理参数的多尺度所带来的数值与分析方面的困难，并向工程界推荐这个实效边条件方法。第二方面的研究目标是提供省力、好用的抽象的大范围分支工具， 并通过研究一些范例，完善申请人发展出来的把大范围分支和紧致定理相结合来证明有鲜明特征（尖峰、相变层）的模式之存在性的方法，为同行提供一个在其它成熟方法之外的选择。第三方面将研究抽象的正的紧算子的主特征值的刻画，为研究非对称椭圆和周期抛物算子的主特征值提供一个工具；另外，将研究来源于薄层问题的、带有非局部实效边条件的特征值的区域优化问题。

项目主持人及参与人开展了如下三个方面的研究：带有薄层区域上的扩散方程的实效边条件，主特征值问题， 大范围分支理论在模式形成中的应用。重要成果包括严格推导并分析了一个大区域里一条强扩散路径的带有实效边条件的一个崭新的模型；完整地研究了三类非局部扩散算子的主特征值之存在性和刻画；给出著名的“强Krein-Rutman定理” 的一个初等证明，并研究了有序Banach空间中正的紧算子的主特征值的min-max 与max-min刻画--这类刻画在算子为可约时，属于首次。..带有实效边条件的模型对于克服空间和物理参数的多尺度所带来的数值与分析方面的困难很有帮助，也带来新颖的数学问题。特征值问题特别是主特征值问题可以说是线性偏微分方程领域剩下的很少几个仍然活跃的领域。特征值不但具有明确的物理意义(震动频率，扩散强度等），而且是研究非线性问题绕不过去的数学工具，本项目支持下所得到的基础性结果有被普遍应用的价值。