奇性抛物方程理论及其在流体力学中的应用

The partial differential equations (PDEs) in many fields of applied sciences are not only nonlinear, but also degenerate, singular and strong coupling. Due to the physical importance and mathematical challenges, these PDEs have been central issues in both applied mathematics and computational mechanics. In this project, we aim to adopt the classical theory and some new techniques, which have been developed in the studies of nonlinear PDEs as well as harmonic analysis and geometric analysis, to study some mathematically important problems arsing from the nonlinear parabolic equations with singularity and fluid mechanics. It mainly consists of the following five parts:.(1) Critical Fujita exponent and blowup for some multi-nonlinear parabolic equations;.(2) Partial regularity and singularity of weak solutions to the compressible Navier-Stokes equations;.(3) Regularity of weak soltuions to the Prandtl boundary layer system;.(4) Existence of solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities;.(5) Global existence and large-time behavior of solutions for the compressible nematic liquid crystal flows.

来源于应用领域中的许多偏微分方程（组）不仅具有很强的非线性，而且常带有退化性、奇异性或强耦合性，它们一直是应用数学和计算流体力学研究的前沿热点问题。本项目拟从数学理论研究的角度出发，利用近年来逐步完善的非线性偏微分方程理论以及调和分析、几何分析中新的思想方法研究具有奇性的非线性抛物方程和流体力学中的若干问题，其中主要包括：.（1）多重非线性抛物方程（组）的Fujita临界指标和解的blowup问题；.（2）可压缩Navier-Stokes方程组弱解的部分正则性和奇性分析；.（3）Prandtl边界层方程组整体弱解的正则性；.（4）具有退化粘性的可压缩N-S方程组解的存在性；.（5）向列型可压缩液晶系统整体解的存在唯一性和长时间性质。

流体力学方程是偏微分方程研究中的前沿热点问题，具有重要的理论应用背景。本项目主要利用抛物-椭圆方程技巧研究可压缩/不可压缩流体力学偏微分方程的数学理论。主要结果包括高维可压缩等熵Navier-Stokes方程初值问题含真空小能量或大粘性整体强解/古典解的存在唯一性；高维不可压缩Navier-Stokes方程初边值问题小初值整体解的存在唯一性；高维可压缩等熵MHD方程含真空小能量整体弱解、古典解的存在唯一性以及正则性准则；高维可压缩/不可压缩液晶系统的整体适定性和长时间性质；高维可压缩微极性流体力学方程整体弱解的存在性；可压缩非等熵柱对称Navier-Stokes方程和一维MHD方程的剪切粘性极限和边界层行为；一维零磁扩散可压缩MHD方程初边值问题大初值整体适定性及零磁扩散极限，等等。本项目研究中，项目组成员在国际学术期刊上已正式发表了19篇科研论文（均标注基金资助），其中SIAM J. Math. Anal.(2篇), Indiana Univ. Math. (1篇), Nonlinearity (1篇), J. Differential Eqns. (3篇) 等。这些结果推广或改进了前人的相关研究成果，进一步丰富了流体力学偏微分方程的数学理论研究成果，为计算流体力学提供重要的理论保障。