复微分、差分方程解及其性质的研究

Complex differential equation and complex difference equation are two mathematical fields with many branches. In this project, using the Nevanlinna theory, a lemma of Zalcman concerning normal families and the skills of complex differential equations, we investigate some hot issues of solutions and their properties of complex differential, difference equations and related topics: Although complex differential equations and complex difference equations have similar characteristics, there are significant differences between them.On this basis, solutions and their properties of complex higher-order differential-difference equations are studied by using the similarities and differences of complex differential equations and complex difference equations. Further, we study algebroid solutions and their properties of complex difference equations. At the same time, some results obtained in complex differential equations and complex difference equations are extended to complex partial differential equations and complex partial difference equations respectively. The research of these problems is the cross synthesis of complex differential equation, complex difference equation and value distribution theory, normal family theory.The current project is expected to promote the development of complex differential equations and complex difference equations through the study of this project as well as the expected research results.

复微分方程和复差分方程是两个有着众多分支的数学领域。本项目主要运用Nevanlinna值分布理论、Zalcman关于正规族的方法以及借助复微分方程的研究技巧，研究复微分、差分方程解及其性质以及相关课题的若干热点问题：尽管复微分方程和复差分方程有类似特征，但在它们之间有重大不同。在此基础上，利用复微分方程和复差分方程的异同点，研究复高阶微分-差分方程（组）解的性质；进一步研究复差分方程的代数体函数解及其性质；同时将复微分方程、复差分方程中已获得的一些结论分别推广到复偏微分方程和复偏差分方程中。这些问题的研究是复微分方程、复差分方程与值分布理论、正规族理论的交叉综合。期望通过对本项目的研究以及预期的研究成果，推动复微分方程和复差分方程的发展。

复微分方程和复差分方程是两个有着众多分支的数学领域。本项目利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论，研究了一类复q-差分复合函数方程组的亚纯解的特征估计。利用Zalcman关于正规族的方法，研究了两类复高阶微分方程组的亚纯解的增长级问题，同时，利用Nevanlinna值分布理论，讨论了两类复微分-差分方程的超越整函数解的增长级问题。所得结论推广和改进了一些文献的结果，并举例说明结论正确。利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论、最大模原理、Zalcman关于正规族的方法以及借助复微分方程的研究技巧，研究了复高阶微分方程的代数体解，复高阶微分方程组的超越亚纯解的存在性，以及亚纯解的增长级；研究了复差分方程组亚纯允许解的存在性，整函数解的增长级以及超越亚纯解的形式；研究了复q-差分方程的解的存在性；研究了复微分-差分方程的亚纯解的存在性以及亚纯解的一些性质，改进和推广了已有的一些研究成果，并举例说明结论精确或者更优。可进一步推动复微分方程和复差分方程的发展。